Ecuaciones cuadráticas con una incógnita

He seleccionado los casos básicos que se nos presentan a la hora de resolver una ecuación cuadrática (la última es la ecuación cuadrática completa, con todos los términos: el de grado dos, el de grado uno, y el de grado cero). Los coeficientes que aparecen en todos ellos son números reales distintos de cero. Veámoslos:

1. $x^2-m^2=0 \Leftrightarrow (x-m)(x+m)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-m = 0 \Leftrightarrow x=m \\ x+m=0 \Leftrightarrow x=-m \end{matrix}\right.$, luego la solución de la ecuación pedida viene dada por estos dos valores: $m$ y $-m$.
2. $(x-n)^2-m^2=0 \Leftrightarrow ((x-n)-m)((x-n)+m)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-n-m = 0 \Leftrightarrow x=n+m\\ x-n+m=0 \Leftrightarrow x=n-m \end{matrix}\right.$, luego la solución de la ecuación pedida viene dada por estos dos valores: $n+m$ y $n-m$.
3. $(\ell\,x-n)^2-m=0 \Leftrightarrow ((\ell\,x-n)-\sqrt{m})((\ell\,x-n)+\sqrt{m})=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ell\,x-n-\sqrt{m} = 0 \Leftrightarrow x=\dfrac{n+\sqrt{m}}{\ell}\\ x-n+\sqrt{m}=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{n-\sqrt{a}}{\ell} \end{matrix}\right.$, luego la solución de la ecuación pedida viene dada por estos dos valores: $\dfrac{n-\sqrt{m}}{\ell}$ y $\dfrac{n+\sqrt{m}}{\ell}$.
4. La ecuación cuadrática completa, $ax^2+bx+c=0$, podemos escribirla de la forma $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$ (dividiendo ambos miembros por el coeficiente $a$ del término de grado dos), y, por consiguiente, también llegamos a $\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}=0$. De ahí, $\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\left( \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \right)^2=0$; ahora bien, por la identidad algebraica sobre la diferencia de los cuadrados, podemos expresar la última igualdad de la forma $$\left(x+\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \,\right)\,\left(x+\dfrac{b}{2a} - \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \,\right)=0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}=- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \\ x+\dfrac{b}{2a}- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}= \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \end{matrix}\right.$$ Es decir, $$x=-\dfrac{b}{2a}\pm \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{ \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}}=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{ \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{4ac}{4a^2}}= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

-oOo- Un caso particularmente sencillo a la hora de resolver la ecuación $ax^2+bx+c=0$ es aquel en que $a=1$; $b,c \in \mathbb{Q}$, y $c$ puede factorizarse de la forma $c=p\,q$, donde $p,q\in \mathbb{Q}$ (números racionales), y de modo que, además, $b=p+q$. Así, al ser $b=p+q$, la ecuación original, puede escribirse de la forma $x^2+(p+q)\,x+pq=0$, esto es, $x^2 + px + qx+pq=0 \Leftrightarrow x(x + p) + q(x+p)=0 \Leftrightarrow (x+q)(x+p)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+q=0 \Leftrightarrow x=-q \\ x+p=0 \Leftrightarrow x=-p\end{matrix}\right.$.

Veamos un par de ejemplos:

1. En la ecuación $x^2+6x+8=0$, démonos cuenta de que $8=4\cdot 2$ y $6=4+2$, luego podemos reescribir dicha ecuación de la forma $x^2+2x+4x+8=0$, esto es, $x(x+2)+4(x+2)=0$; por tanto, $(x+2)(x+4)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+2=0 \Leftrightarrow x=-2 \\ x+4=0 \Leftrightarrow x=-4\end{matrix}\right.$
2. En la ecuación $x^2-6x+8=0$, démonos cuenta de que $8=-4\cdot (-2)$ y $6=-4+(-2)$, luego podemos reescribir dicha ecuación de la forma $x^2-2x-4x+8=0$, esto es, $x(x-2)-4(x-2)=0$; por tanto, $(x-2)(x-4)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2=0 \Leftrightarrow x=2 \\ x-4=0 \Leftrightarrow x=4\end{matrix}\right.$

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