Los números perfectos son amigos de sí mismos

Recordemos que un divisor de un número entero positivo se dice propio si es distinto del propio número; así por ejemplo los divisores propios de $30$ son $\{1,2,3,5,,6,10,15\}$. Se dice que un número entero positivo es perfecto si la suma de sus divisores propios es igual al propio número; por ejemplo, $6$ es un número perfecto, ya que la suma de sus divisores propios, $\{1,2,3\}$, es igual al propio número: $1+2+3=6$. En cambio, $10$ no lo es pues, la suma de sus divisores propios, $\{1,2,5\}$, no es igual a dicho número: $1+2+5=8\neq 10$.

Como curiosidad, sabed que los siguientes dos números perfectos son $28$ y $496$; a partir de éstos, los números perfectos son muy grandes: $6, 28, 496, 8\,128, 3\,3\,550\,336, 8\,589\,869\,056, 137\,438\,691\,328,\ldots$. Podemos conjeturar que hay infinitos números perfectos, aunque tal cosa no se ha llegado a demostrar ni a refutar.

Un resultado interesante a la hora de buscar números perfectos (Euclides) nos dice que si $p$ es un número primo, entonces $2^{p-1}\cdot (2^p-1)$ es un número perfecto. Comprobémoslo con el número perfecto $6$: para $p=2$, se tiene que $2^{2-1}\cdot (2^2-1)=2\cdot 3=6$. Para encontrar otros números perfectos, basta pues con partir de un número primo y hacer el cálculo al que me refiero; por ejemplo, partiendo de $p=5$ se tiene que $2^{5-1}\cdot (2^5-1)=16\cdot 11=496$, que es otro número perfecto, como puede comprobarse a partir de la definición: los divisores propios de $496$ son $\{1,2,4,8,16,31,62,124,248\}$ (podéis encontrarlos mediante el método de los diagramas de árbol), y, en efecto, al sumarlos obtenemos el propio número, $1+2+4+8+16+31+62+124+248=496$

Dos números enteros positivos se dicen amigos si la suma de los divisores propios de uno es igual al otro número y viceversa. Podéis comprobar, por ejemplo, que los números enteros positivos más pequeños que son amigos son $220$ y $284$; en efecto, los divisores propios de $220$ son $\{1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110\}$, siendo $1+ 2+ 4+ 5+ 10+ 11+ 20+ 22+ 44+ 55 +110=284$, y lo divisores propios de $284$, que son $\{1, 2, 4, 71, 142\}$, suman el otro número, $1+ 2+ 4+ 71 +142=220$. Encontrar la siguiente pareja de números amigos nos llevará un cierto trabajo; podéis comprobar que se trata de $1184$ y $1210$. Encontrar pues otras parejas de amigos es ya todo un reto, aunque ya en el siglo IX, el matemático Thābit ibn Qurra descubrió unas fórmulas para generarlos (teorema de Thâbit ibn Qurra), las cuales no fueron generalizadas por Leonhard Euler en el siglo XVIII.

En buena lógica, entonces, puede decirse de un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo. $\diamond$

Acerca de la resolución de ciertas ecuaciones de segundo grado de una manera rápida y elegante

Algunas ecuaciones polinómicas de segundo grado con coeficientes enteros, cuyo coeficiente de grado dos sea igual a $1$, pueden resolverse de una manera muy elegante sin tener que utilizar la fórmula general. En tales casos, las soluciones son números enteros, que además de ser divisores del término independiente, cumplen que su suma es igual al coeficiente del término de primer grado. Veamos un ejemplo de esas ecuaciones, y cómo resolverla de esta manera:

$x^2-6x+8=0$
  $x^2-2x-4x+8=0 \because\,$ observemos que entre los divisores de $8$ figuran $-2$ y $-4$, y que éstos, en particular, verifican: $b=(-2)+(-4)=-6 \, \text{y}\, c=(-2)\cdot (-4)=8$. Entonces, podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:
    $(x^2-2x)+(-4x+8)=0$
      $x(x-2)+4(-x+2)=0$
        $x(x-2)-4(x-2)=0$
          $(x-2)(x-4)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2=0 \Rightarrow x_1=2 \\ x-4=0 \Rightarrow x_2=4 \end{matrix}\right.$
Notemos que, cumplen la propiedad que los valores de toda solución de una ecuación de segundo grado deben satisfacer: (i) $x_1+x_2=-b$ (en nuestro caso, $b=-6$, y, en efecto, $2+4=6=-(-6)$), y (ii) $x_1\cdot x_2=c$ (en nuestro caso, $c=8$, y, en efecto, $2\cdot 4=8$).

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Comentario importante: Es claro que, sin embargo, esta técnica no es aplicable siempre; así, por ejemplo, no podemos utilizarla para resolver la ecuación $x^2+x-3=0$, ya que ninguna pareja del conjunto de divisores del término independiente, que es $3$, y que son $\{\pm 1\,,\,\pm 3\}$ no permite expresar como suma de éstos el coeficiente del término de grado uno, que es $1$ (aunque sí podamos decir que $c=-3=-1\cdot 3$ o bien $c=-3=1\cdot (-3)$): $-1-3=-4\neq b=1$, $1+3=4\neq b=1$, $1+(-3)=-2 \neq b=1$ y $-1+3=2\neq b=1$. En tales casos, habrá que recurrir a la fórmula general $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2}=\dfrac{-1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\\\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.$, o bien, manejar algebráicamente la ecuación, paso a paso: $x^2+x-3=(x+\frac{1}{2}\,x)^2-3-\frac{1}{4}=0$ y, por tanto, $(x+\frac{1}{2}\,x)^2=\dfrac{13}{4}\Rightarrow x+\frac{1}{2}\,x=\pm \sqrt{\dfrac{13}{4}}=\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2} \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\\\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.$   $\diamond$

Un problema de engranajes que trata de la transmisión reductora del giro de un eje motor a otro eje paralelo

Para transmitir un movimiento circular entre dos ejes paralelos montamos un tren de engranajes que consta de dos ruedas: la rueda del eje motriz consta de $z_1=25$ dientes, y la del eje receptor de $z_2=100$ dientes. Si la velocidad del eje motriz es de $w_1=1\,000$ revoluciones por minuto (r.p.m), ¿cuál es la velocidad, $w_2$, del eje receptor?

Sabemos que la velocidad de giro es inversamente proporcional al número de dientes de la rueda en la que engrana, luego $w_1 \propto z_{1}^{-1} \quad (1)$ y $w_2 \propto z_{2}^{-1}$, es decir, existe una constante de proporcinalidad $c$ tal que $w_1 = c\cdot z_{1}^{-1} \quad (1)$ y $w_2 = c\cdot z_{2}^{-1} \quad (2)$.

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Nota: Veamos cuál es el significado de dicha constante $c$: Observemos que $c=w_1\cdot z_1=w_2\cdot z_2$; entonces, como la velocidad angular $w$ expresa el número de vueltas por minuto y $z$ el número de dientes, $c$ representa el número de veces por unidad de tiempo que una pareja de dientes entran en contacto (un diente de cada una de las dos ruedas que engranan).

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Bien pues, dividiendo miembro a miembro $(2)$ entre $(1)$ obtenemos $\dfrac{w_2}{w_1}= \dfrac{z_{2}^{-1}}{z_{1}^{-1}}=\left( \dfrac{z_2}{z_1} \right)^{-1}=\dfrac{z_1}{z_2}$ y, por consiguiente, $w_2= w_1 \cdot \dfrac{z_1}{z_2}$ (el segundo factor del segundo miembro se denomina relación de trasmisión). Así que, con los datos del problema, obtenemos $w_2= 1\,000 \cdot \dfrac{25}{100} = 1\,000 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1000}{4}=250\,\text{r.p.m}$. Es decir, en este caso, el mecanismo transmisor es reductor, siendo la relación de transmisión igual a $1/4$, que también podemos expresar de la forma: $1:4$. $\diamond$

Una ecuación con la incógnita en el exponente

¿Qué valor (o valores) de $x$ cumplen la siguiente ecuación $2^{\sqrt{x}}=16$?

Observemos que $16=2^4$, con lo cual la ecuación pedida podemos escribirla de la forma
  $2^{\sqrt{x}}=2^4$ y por tanto, al ser iguales las bases de las potencias de sendos miembros, los exponentes también han de ser iguales:
    $\sqrt{x}=4 \Rightarrow (\sqrt{x})^2=4^2 \Rightarrow x=16$
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Un ejercicio de Olimpiada Matemática

Nos proponemos determinar los números reales que son solución de la siguiente ecuación: $$x^{x^{4}}=64$$

El primer paso, que viene a continuación, es el paso clave del ejercicio, que no es nada evidente hacerlo, pues se requiere una cierta habilidad en la planificación de la resolución, anticipándonos dos pasos antes de escribirlos; el desarrollo a partir de aquí sigue, sin embargo, con la aplicación de las propiedades básicas de las potencias:
  $\left(x^{x^{4}}\right)^4=(8^{2})^{4}$
    $\left(x^4\right)^{x^{4}}=8^{2\cdot 4}$
      $\left(x^4\right)^{x^{4}}=8^8 \Leftrightarrow x^4=8 \Leftrightarrow x=\pm\,\sqrt[4]{8}$
Finalmente, y teniendo en cuenta que $2^4=16\lt 8$ y $1^4=1\lt 8$, podemos escribir la siguiente acotación: $1\lt |x| \lt 2$. $\diamond$

Ecuaciones cuadráticas con una incógnita

He seleccionado los casos básicos que se nos presentan a la hora de resolver una ecuación cuadrática (la última es la ecuación cuadrática completa, con todos los términos: el de grado dos, el de grado uno, y el de grado cero). Los coeficientes que aparecen en todos ellos son números reales distintos de cero. Veámoslos:

1. $x^2-m^2=0 \Leftrightarrow (x-m)(x+m)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-m = 0 \Leftrightarrow x=m \\ x+m=0 \Leftrightarrow x=-m \end{matrix}\right.$, luego la solución de la ecuación pedida viene dada por estos dos valores: $m$ y $-m$.
2. $(x-n)^2-m^2=0 \Leftrightarrow ((x-n)-m)((x-n)+m)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-n-m = 0 \Leftrightarrow x=n+m\\ x-n+m=0 \Leftrightarrow x=n-m \end{matrix}\right.$, luego la solución de la ecuación pedida viene dada por estos dos valores: $n+m$ y $n-m$.
3. $(\ell\,x-n)^2-m=0 \Leftrightarrow ((\ell\,x-n)-\sqrt{m})((\ell\,x-n)+\sqrt{m})=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ell\,x-n-\sqrt{m} = 0 \Leftrightarrow x=\dfrac{n+\sqrt{m}}{\ell}\\ x-n+\sqrt{m}=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{n-\sqrt{a}}{\ell} \end{matrix}\right.$, luego la solución de la ecuación pedida viene dada por estos dos valores: $\dfrac{n-\sqrt{m}}{\ell}$ y $\dfrac{n+\sqrt{m}}{\ell}$.
4. La ecuación cuadrática completa, $ax^2+bx+c=0$, podemos escribirla de la forma $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$ (dividiendo ambos miembros por el coeficiente $a$ del término de grado dos), y, por consiguiente, también llegamos a $\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}=0$. De ahí, $\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\left( \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \right)^2=0$; ahora bien, por la identidad algebraica sobre la diferencia de los cuadrados, podemos expresar la última igualdad de la forma $$\left(x+\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \,\right)\,\left(x+\dfrac{b}{2a} - \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \,\right)=0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}=- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \\ x+\dfrac{b}{2a}- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}= \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \end{matrix}\right.$$ Es decir, $$x=-\dfrac{b}{2a}\pm \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{ \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}}=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{ \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{4ac}{4a^2}}= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

-oOo- Un caso particularmente sencillo a la hora de resolver la ecuación $ax^2+bx+c=0$ es aquel en que $a=1$; $b,c \in \mathbb{Q}$, y $c$ puede factorizarse de la forma $c=p\,q$, donde $p,q\in \mathbb{Q}$ (números racionales), y de modo que, además, $b=p+q$. Así, al ser $b=p+q$, la ecuación original, puede escribirse de la forma $x^2+(p+q)\,x+pq=0$, esto es, $x^2 + px + qx+pq=0 \Leftrightarrow x(x + p) + q(x+p)=0 \Leftrightarrow (x+q)(x+p)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+q=0 \Leftrightarrow x=-q \\ x+p=0 \Leftrightarrow x=-p\end{matrix}\right.$.

Veamos un par de ejemplos:

1. En la ecuación $x^2+6x+8=0$, démonos cuenta de que $8=4\cdot 2$ y $6=4+2$, luego podemos reescribir dicha ecuación de la forma $x^2+2x+4x+8=0$, esto es, $x(x+2)+4(x+2)=0$; por tanto, $(x+2)(x+4)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+2=0 \Leftrightarrow x=-2 \\ x+4=0 \Leftrightarrow x=-4\end{matrix}\right.$
2. En la ecuación $x^2-6x+8=0$, démonos cuenta de que $8=-4\cdot (-2)$ y $6=-4+(-2)$, luego podemos reescribir dicha ecuación de la forma $x^2-2x-4x+8=0$, esto es, $x(x-2)-4(x-2)=0$; por tanto, $(x-2)(x-4)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2=0 \Leftrightarrow x=2 \\ x-4=0 \Leftrightarrow x=4\end{matrix}\right.$

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Contando estrellas: una estimación del número de estrellas visibles (observables a simple vista) en la totalidad de la cúpula celeste

Imaginémonos contemplando el cielo estrellado, totalmente despejado de nubes, en una noche sin luna, lejos de la contaminación lumínica de las ciudades. ¿Cómo podemos contar el número de estrellas visibles en estas condiciones?

Un sencillo método que encontré en un libro de divulgación astronómica (Atlas básico de astronomía, Parramón Ediciones, Barcelona, 2001) para obtener una estimación de dicha cantidad consiste en dibujar una circunferéncia de $6\,\text{cm}$ de radio en una trozo de cartulina negra, y recortarla con cuidado, con ayuda de un cúter, para observar el cielo através de dicho agujero; para ello, lo colocaremos a una distancia de nuestro ojos de $30\,\text{cm}$, para lo cual nos ayudaremos de un hilito de esa longitud atado con un nudito de gaza al reverso de la cartulina (la opuesta a la que enfretamos a nuestros ojos) y lo mantendremos tenso mientras observemos. Así podremos contar el número de estrellas que quedan dentro del círculo, observando el cielo en una dirección arbitraria; pues bien, al parecer, dicha cantidad de estrellas representa aproximadamente el $1\,\%$ de las estrellas visibles a simple vista en la totalidad de la esfere celeste —¿te animas a justificar esta afirmación mediante razonamientos geométricos?—. Si repetimos la observación observando hacia $10$ regiones distintas del cielo y sumamos las estrellas contabilidazadas cada una de las veces obtendremos por tanto el $10\,\%$ de las estrellas visibles a simple vista de la totalidad de la esfera celeste, aproximadamente. Finalmente, bastará multiplicar dicha cantidad por $10$ para estimar el $100\,\%$ de las estrellas, esto es, la totalidad de las estrellas visibles a simple vista. Si eres una persona curiosa, te propongo que pongas en práctica este sencillo experimento de recuento. $\diamond$