Acerca de la resolución de ciertas ecuaciones de segundo grado de una manera rápida y elegante

Algunas ecuaciones polinómicas de segundo grado con coeficientes enteros, cuyo coeficiente de grado dos sea igual a $1$, pueden resolverse de una manera muy elegante sin tener que utilizar la fórmula general. En tales casos, las soluciones son números enteros, que además de ser divisores del término independiente, cumplen que su suma es igual al coeficiente del término de primer grado. Veamos un ejemplo de esas ecuaciones, y cómo resolverla de esta manera:

$x^2-6x+8=0$
  $x^2-2x-4x+8=0 \because\,$ observemos que entre los divisores de $8$ figuran $-2$ y $-4$, y que éstos, en particular, verifican: $b=(-2)+(-4)=-6 \, \text{y}\, c=(-2)\cdot (-4)=8$. Entonces, podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:
    $(x^2-2x)+(-4x+8)=0$
      $x(x-2)+4(-x+2)=0$
        $x(x-2)-4(x-2)=0$
          $(x-2)(x-4)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2=0 \Rightarrow x_1=2 \\ x-4=0 \Rightarrow x_2=4 \end{matrix}\right.$
Notemos que, cumplen la propiedad que los valores de toda solución de una ecuación de segundo grado deben satisfacer: (i) $x_1+x_2=-b$ (en nuestro caso, $b=-6$, y, en efecto, $2+4=6=-(-6)$), y (ii) $x_1\cdot x_2=c$ (en nuestro caso, $c=8$, y, en efecto, $2\cdot 4=8$).

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Comentario importante: Es claro que, sin embargo, esta técnica no siempre es aplicable; así, por ejemplo, no podemos utilizarla para resolver la ecuación $x^2+x-3=0$, ya que ninguna pareja del conjunto de divisores del término independiente, que es $3$, y que son $\{\pm 1\,,\,\pm 3\}$ no permite expresar como suma de éstos el coeficiente del término de grado uno, que es $1$ (aunque sí podamos decir que $c=-3=-1\cdot 3$ o bien $c=-3=1\cdot (-3)$): $-1-3=-4\neq b=1$, $1+3=4\neq b=1$, $1+(-3)=-2 \neq b=1$ y $-1+3=2\neq b=1$. En tales casos, habrá que recurrir a la fórmula general $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2}=\dfrac{-1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\\\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.$, o bien, manejar algebráicamente la ecuación, paso a paso: $x^2+x-3=(x+\frac{1}{2}\,x)^2-3-\frac{1}{4}=0$ y, por tanto, $(x+\frac{1}{2}\,x)^2=\dfrac{13}{4}\Rightarrow x+\frac{1}{2}\,x=\pm \sqrt{\dfrac{13}{4}}=\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2} \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\\\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.$   $\diamond$