Un problema de engranajes que trata de la transmisión reductora del giro de un eje motor a otro eje paralelo

Para transmitir un movimiento circular entre dos ejes paralelos montamos un tren de engranajes que consta de dos ruedas: la rueda del eje motriz consta de $z_1=25$ dientes, y la del eje receptor de $z_2=100$ dientes. Si la velocidad del eje motriz es de $w_1=1\,000$ revoluciones por minuto (r.p.m), ¿cuál es la velocidad, $w_2$, del eje receptor?

Sabemos que la velocidad de giro es inversamente proporcional al número de dientes de la rueda en la que engrana, luego $w_1 \propto z_{1}^{-1} \quad (1)$ y $w_2 \propto z_{2}^{-1}$, es decir, existe una constante de proporcinalidad $c$ tal que $w_1 = c\cdot z_{1}^{-1} \quad (1)$ y $w_2 = c\cdot z_{2}^{-1} \quad (2)$.

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Nota: Veamos cuál es el significado de dicha constante $c$: Observemos que $c=w_1\cdot z_1=w_2\cdot z_2$; entonces, como la velocidad angular $w$ expresa el número de vueltas por minuto y $z$ el número de dientes, $c$ representa el número de veces por unidad de tiempo que una pareja de dientes entran en contacto (un diente de cada una de las dos ruedas que engranan).

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Bien pues, dividiendo miembro a miembro $(2)$ entre $(1)$ obtenemos $\dfrac{w_2}{w_1}= \dfrac{z_{2}^{-1}}{z_{1}^{-1}}=\left( \dfrac{z_2}{z_1} \right)^{-1}=\dfrac{z_1}{z_2}$ y, por consiguiente, $w_2= w_1 \cdot \dfrac{z_1}{z_2}$ (el segundo factor del segundo miembro se denomina relación de trasmisión). Así que, con los datos del problema, obtenemos $w_2= 1\,000 \cdot \dfrac{25}{100} = 1\,000 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1000}{4}=250\,\text{r.p.m}$. Es decir, en este caso, el mecanismo transmisor es reductor, siendo la relación de transmisión igual a $1/4$, que también podemos expresar de la forma: $1:4$. $\diamond$