Un problema de engranajes que trata de la transmisión reductora del giro de un eje motor a otro eje paralelo

Para transmitir un movimiento circular entre dos ejes paralelos montamos un tren de engranajes que consta de dos ruedas: la rueda del eje motriz consta de $z_1=25$ dientes, y la del eje receptor de $z_2=100$ dientes. Si la velocidad del eje motriz es de $w_1=1\,000$ revoluciones por minuto (r.p.m), ¿cuál es la velocidad, $w_2$, del eje receptor?

Sabemos que la velocidad de giro es inversamente proporcional al número de dientes de la rueda en la que engrana, luego $w_1 \propto z_{1}^{-1} \quad (1)$ y $w_2 \propto z_{2}^{-1}$, es decir, existe una constante de proporcinalidad $c$ tal que $w_1 = c\cdot z_{1}^{-1} \quad (1)$ y $w_2 = c\cdot z_{2}^{-1} \quad (2)$.

---

Nota: Veamos cuál es el significado de dicha constante $c$: Observemos que $c=w_1\cdot z_1=w_2\cdot z_2$; entonces, como la velocidad angular $w$ expresa el número de vueltas por minuto y $z$ el número de dientes, $c$ representa el número de veces por unidad de tiempo que una pareja de dientes entran en contacto (un diente de cada una de las dos ruedas que engranan).

---

Bien pues, dividiendo miembro a miembro $(2)$ entre $(1)$ obtenemos $\dfrac{w_2}{w_1}= \dfrac{z_{2}^{-1}}{z_{1}^{-1}}=\left( \dfrac{z_2}{z_1} \right)^{-1}=\dfrac{z_1}{z_2}$ y, por consiguiente, $w_2= w_1 \cdot \dfrac{z_1}{z_2}$ (el segundo factor del segundo miembro se denomina relación de trasmisión). Así que, con los datos del problema, obtenemos $w_2= 1\,000 \cdot \dfrac{25}{100} = 1\,000 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1000}{4}=250\,\text{r.p.m}$. Es decir, en este caso, el mecanismo transmisor es reductor, siendo la relación de transmisión igual a $1/4$, que también podemos expresar de la forma: $1:4$. $\diamond$

La proporcionalidad directa entre fuerza y superficie (de los émbolos) en los gatos hidráulicos

Un gato hidráulico no es más que una prensa hidráulica empleado en los talleres mecánicos y también como máquina para elevar un vehículo pesado y así poder cambiar una rueda malograda. El mecanismo es muy sencillo: se trata de dos émbolos comunicados por un conducto y en el que se utiliza un fluido para transmitir una fuerza $F_1$ aplicada directamente sobre el émbolo $E_1$, que al transmitirse al segundo émbolo $E_2$ de mayor superficie que el primero, y colocado convenientemente sobre el cuerpo en el que se quiera actuar, se produce sobre éste una fuerza $F_2$ mayor que $F_1$. Esto es así por estar la magnitud fuerza y la magnitud superfice en proporción directa, como vamos a ver en seguida. Suponiendo que los émbolos son de sección circular y que sus radios son $r_1=2\,\text{cm}$ y $r_2=4\,\text{cm}$, ¿Cuál es el peso, $F_2$, que podemos elevar al ejercer una fuerza $F_1=200\,\text{N}$ (newtons) en $E_1$?.

La presión del fluido (fuerza que actúa por unidad de área) es la misma debajo de cada uno de los dos émbolos, luego estas magnitudes (fuerza y área) están en proporción directa: $\dfrac{F_1}{S_1}=\dfrac{F_2}{S_2}$, donde $S_1$ y $S_2$ son las superficies de dichos émbolos, que, al ser de sección circular, se calculan por la conocida fórmula del área de un círculo (el número $\pi$ por el cuadrado del radio). Entonces, con los datos del problema: $\dfrac{200}{\pi\cdot 2^2}=\dfrac{F_2}{\pi\cdot 10^2}$. Nota: no hace falta convertir los centímetros a metros (para trabajar con unidades homogéneas del Sistema Internacional), pues el factor de conversión estará en los dos miembros de la igualdad y por tanto ambos se cancelarán. Despejando, $F_2$ de esta ecuación, se tiene que $F_2=200\cdot \dfrac{10^2}{2^2}$, o lo que es lo mismo, $F_2=200 \cdot \left(\dfrac{10}{2}\right)^2=5\,000\,\text{N}$. $\diamond$

Ejercicio 8 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Proporcionalidad

ENUNCIADO. Ejercicio 223 de la página 119 del libro base ( Unidad Didáctica 6 ) - ligeramente modificado -
¿ Cuál es la medida del ángulo que forman las agujas del reloj ( minutera y horaria ) a las 15:15 ?

INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. A las 15:15 la aguja minutera se situa exactamente en la posición de las '3' y la aguja horaria entre las '3' y las '4'. Sabemos que la aguja horaria avanza 30º cada 60 minutos, luego en 15 minutos ha avanzado $\dfrac{15}{60}\cdot 30º = 7,5º$, por lo que esta es la medida del ángulo que forman las dos agujas ( horaria y minutera ) a la hora indicada. $\square$

La técnica de marcaje y recaptura para estimar el número total de individuos de una población

La técnica de marcaje y recaptura se suele emplear en ecología para estimar el número total de individuos, N, de una cierta especie que habitan en un área delimitada, y consiste en extraer una primera muestra de tamañó n, marcando con algún tipo de señal todos los individuos de la misma y liberar dichos individuos. Pasado un tiempo razonable, al objeto de que la población se redistribuya de manera homogénea, se extrae una segunda muestra de m individuos, de los cuales, se espera que encontaremos entre ellos m' individuos marcados ( que ya formaban parte de la primera muestra ). Entonces, teniendo en cuenta que la razón aritmética entre el número de individuos marcados y el número total de individuos en cada muestra debería ser aproximadamente constante, tandrá que cumplirse de manera aproximada la siguiente proporción:
m'/m ~ n/N, y por tanto, el número total de individuos de dicha especie en el área en la que realizamos el estudio será N ~ nm/m'

Ejemplo [Referencia: Yates, K., Los números de la vida, Blackie Books, 2020]. Queremos estimar el número de caracoles que hay en un jardín. Para ello, capturamos ( en una primera muestra ) 23 individuos ( n:=23 ) y los marcamos pegándoles una discreta etiqueta adhesiva en la concha antes de soltarlos. Unos días después, realizamos capturamos otro grupo de caracoles, esta vez fueron 18 (m:=18), de los cuales 3 tenían la marca que pusimos a los individuos de la primera muestra (m':=3). Estimemos el número de caracoles, N, que hay en el jardín: como
3/18 ~ 23/N, de donde se obtiene que N ~ 23·18/3 = 138 caracoles.

Un ejercicio básico de proporcionalidad

ENUNCIADO. Carmen, que trabaja en un taller de electrónica, necesita $1\,600$ euros al mes para cubrir sus gastos básicos. De su sueldo, tiene que descontar un 7% en concepto de impuestos. ¿ Cuál debería ser la cuantía mínima de su sueldo ?.

SOLUCIÓN.
Procedimiento I.
Denotemos por $x$ la cuantía de dicho sueldo. Entonces, según el enunciado, podemos escribir la siguiente ecuación, $$x-\dfrac{7}{100}\,x = 1\,600$$ esto es $$\dfrac{93}{100}\,x= 1\,1600$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{1\,600\cdot 100}{93} \approx 1\,720,43\,\text{euros}$$

Procedimiento II.
Recogiendo los datos en la siguiente tabla, podemos plantear la proporción directa que lleva a la solución del problema.

+================================+
|  sueldo bruto  |   sueldo neto |
+================================+
|     100        |     100-7     |
+----------------|---------------+
|      x         |      1600     |
+--------------------------------+

$\dfrac{x}{100}=\dfrac{1600}{100-7} \Rightarrow x=\dfrac{100\cdot 1600}{93}\approx 1\,720,43\,\text{euros}$, aproximando al céntimo de euro.
$\square$

Aumentos y descuentos en el precio de un artículo

ENUNCIADO. Un vendedor de electrodomésticos aumenta el precio de un frigorífico, que es de 200 euros, en un 20%, la semana anterior a la semana de rebajas, en la que hará un descuento de un 20% sobre el precio de todos los productos. ¿ Cuánto costará dicha nevera en la semana de rebajas ?

SOLUCIÓN.
Al aumentar un 20% el precio de venta del frigorífico, éste costará $200\cdot \dfrac{100+20}{100}$ -- multiplicando el precio nominal por el índice de variación que corresponde al aumento -- justo antes de que empiecen las rebajas. Y, durante las rebajas, al aplicar el descuento del 20%, costará $\left(200\cdot \dfrac{100+20}{100}\right) \cdot \dfrac{100-20}{100}$, esto es, $192$ euros, donde se ha multiplicado la cantidad calculada al hacer el descuento por el índice de variación (correspondiente al descuento).

-oOo-
Nota. Como se puede ver con toda claridad, es un error el pensar que pueden restarse los porcentajes de aumento y descuento, y plantear la situación como si no se hiciese ni el uno ni el otro. Al aplicar pues varios descuentos/recargos hay que hacerlo de manera encadenada, multiplicando la cantidad nominal por todos y cada uno de los índices de variación.
$\square$

Ejercicios resueltos del examen de los temas 3 y 4 ( sucesiones y proporcionalidad )

Sueldo bruto y sueldo neto

ENUNCIADO. Calcúlese el valor del sueldo bruto de una trabajadora sabiendo que tras retenerle el 7% en concepto de IRPF ( Impuesto sobre la Renta para las Personas Físicas ) percibe una cantidad neta de $1\,300$ euros.

SOLUCIÓN. Denotaremos por $x$ el sueldo neto y teniendo en cuenta la proporcionalidad directa entre el sueldo bruto y el sueldo neto

=============================
cantidad neta | cantidad bruta 
==============================
1\,300        | x 
------------------------------
100-7=93      | 100 
==============================

Entonces,
$$\dfrac{x}{100}=\dfrac{1\,300}{97}\Rightarrow x=\dfrac{100\cdot 1\,300}{93}\approx 1\,397,85\,\text{euros}$$
$\square$

Aumentos porcentuales sucesivos

ENUNCIADO. Una cantidad aumenta un 25%, ¿ En qué porcentaje debe aumentar la cantidad que resulta para que se doble la cantidad inicial ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ la cantidad inicial pedida y por $t$ el porcentaje pedido. El primer aumento porcentual nos lleva a la siguiente cantidad $$\dfrac{100+25}{100}\,x$$, y, al calcular el segundo aumento, para que la cantidad final sea el doble la cantidad inicial, deberemos imponer la siguiente condición $$2x = \dfrac{100+t}{100} \cdot \left( \dfrac{100+25}{100}\,x \right)$$
Démons cuenta de que $x$ se cancela, con lo que podemos escribir $$2=\dfrac{100+t}{100}\cdot \dfrac{100+25}{100}$$ así que, despejando $t$, llegamos a $$t=\dfrac{20\,000}{125}-100=60\,\%$$
$\square$

Un ejercicio de proporcionalidad directa

ENUNCIADO. Un excursionista asciende por la ledera de una montaña, de pendiente constante, a una velocidad constante. A las 14:00 ha realizado $1/6$ del recorrido, a las 16:00 ha realizado $3/4$ del recorrido. ¿ Qué fracción del recorrido ha realizado a las 15:00 ?

SOLUCIÓN. Las magnitudes fracción del recorrido realizada y tiempo empleado en hacerlo son proporcionales, pues el excursionista asciende a velocidad constante, por lo quepodemos plantear una proporción directa entre sendas magnitudes. Denotemos por $x$ a la fracción del recorrido lleva hecha hasta las 15:00, entonces $$\dfrac{x-1/6}{15-14}=\dfrac{3/4-1/6}{16-14}$$ y por tanto $$\dfrac{14}{48}=x-1/6$$ así que despejando la incógnita llegamos a $$x=\dfrac{7}{24}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{24}\,\text{partes del recorrido}$$
$\square$

Ángulo que forman las agujas del reloj (horaria y minutera) a una hora dada

ENUNCIADO. Calcúlese el ángulo que forman la aguja horaria y la minutera en el instante en que un reloj marca las 15:40:00

SOLUCIÓN. Tomemos como referencia angular la semirrecta que pasa por el centro del círculo del reloj y por el punto $M$ del mismo que indica las doce. Denotemos por $\alpha_{m}$ el ángulo que forma la aguja minutera con la semirrecta $OM$ a la hora indicada, y por $\alpha_h$ el ángulo que forma la aguja horaria con la semirrecta $OM$ a la hora indicada. Entonces, el ángulo pedido es igual a la diferencia de dichos ángulos, esto es $|\alpha_{m}-\alpha_{h}|$

Como el movimiento circular de sendas agujas es uniforme, podemos calcular los ángulos que necesitamos mediante dos proporciones directas simples, esto es:

$\dfrac{\alpha_h}{3\cdot 60+40}=\dfrac{360º}{12\cdot 60}$, de donde $\alpha_h=\dfrac{3\cdot 60+40}{12\cdot 60}\cdot 360º = 110º$
y
$\dfrac{\alpha_m}{40}=\dfrac{360º}{60}$, de donde $\alpha_m=\dfrac{40}{60}\cdot 360º = 240º$

Así que el ángulo pedido es igual a $$|\alpha_{m}-\alpha_{h}| = 240º - 110º =130º$$

$\square$

Fracciones

ENUNCIADO. En la primera etapa de una excursión, Marta ha recorrido dos terceras partes del trayecto y en la segunda etapa una cuarta parte del resto. Para terminar la excursión aún le faltan $5$ kilómetros. ¿ Cuál es la longitud total del trayecto ?.

SOLUCIÓN. La fracción de trayecto recorrido es $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot ( 1-\dfrac{2}{3})$, esto es, $\dfrac{3}{4}$; así pues, los $5$ kilómetros que aún le falta por recorrer representan $1-\dfrac{3}{4}$ partes del total, es decir, $\dfrac{1}{4}$ partes del mismo. Por consiguiente, denotando por $x$ la longitud total del trayecto, podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{4}{1}=\dfrac{x}{5}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=4\cdot 5=20\,\text{kilómetros}$$
$\square$

Un problema en el que se aplican las fracciones

ENUNCIADO. Juan ha gastado $\dfrac{2}{5}$ partes de su paga en adquirir unas entradas para un concierto y $\dfrac{3}{4}$ del resto en comprarse ropa de deporte. Sabiendo que le quedan $27$ euros, calcula el importe de la paga de Juan.

SOLUCIÓN.
La parte del total que ha gastado es $$\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{4}\cdot (1-\dfrac{2}{5})=\dfrac{17}{20}$$ luego la parte ( del total ) que le quedado es $$1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}$$ Denotando por $x$ la cantidad total ( la paga ) podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{20}{3}=\dfrac{x}{27}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{20\cdot 27}{3}=180\,\text{euros}$$
$\square$

En un tramo recto de un canal de riego de sección cuadrada ...

ENUNCIADO
En un tramo recto de un canal de riego de sección cuadrada, cuya área es de $50 \, \text{dm}^2$, observamos una hoja de sauce flotando que, movida por la corriente, se desplaza a razón de $10 \, \text{m}$ cada $5 \, \text{s}$. ¿Que caudal de agua lleva el canal? ¿Cuánto tiempo tardaría en llenar una balsa de riego, inicialmente vacía, que tiene una capacidad de $5 \cdot 10^6 \, \text{L}$?

SOLUCIÓN
En un intervalo de $5 \, \text{s}$, podemos considerar un elemento de volumen de agua ( que transporta el canal ), en forma de prisma recto, cuya base cuadrada tiene un área de $50 \, \text{dm}^2$, y cuya arista longitudinal ( en la dirección de la corriente ) mida $10 \, \text{m}$, esto es, $100 \, \text{dm}$; entonces el volumen de dicho elemento es de $50 \cdot 100 = 5000 \, \text{dm}^3$, por tanto, el caudal pedido es de $\dfrac{5000 \, \text{dm}^3}{5 \, \text{s}}$, es decir, $10^3 \, \dfrac{\text{dm}^3}{s}$

Teniendo en cuenta que $1 \, \text{dm}^3$ de volumen equivale a $1 \, \text{L}$ de capacidad, el canal aporta $10^3 \, \dfrac{\text{L}}{s}$, y como la capacidad de la balsa de riego es $5 \cdot 10^6 \, \text{L}$, se necesitan $$\dfrac{5 \cdot 10 ^6}{10^3} \, \dfrac{\text{L}}{\text{L}/\text{s}} = 5000 \, \text{s}$$ para llenarla, que, expresado en forma compleja, es igual a $$3 \, \text{h} \; 28 \, \text{min} \; 20 \, \text{s}$$.
$\square$

[nota del autor]

Diversos ejercicios de proporcionalidad ...

1. Hem comprat un article que estava rebaixat en un 6%. Si hem pagat 32,00 € (I.V.A. inclòs), quant hauríem pagat si no ens haguessin fet el descompte?

Anomenem $x$ a la quantitat que haurem de pagar si, en proporció, ens descompten sis euros de cada cent que valgui un cert article

$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{32,00}$

aïllant la incòngita, trobem

$x=\dfrac{32,00 \cdot 100}{94}$

i, aproximant el càlcul (per arrodoniment) fins els cèntims d'euro, trobem la quantitat que haurem de pagar: 34,04 €
$\square$

2. El preu nominal d'un article és de 30,50 € . Ens fan un desc ompte del 6%; per altra banda, cal pagar l'impost de l'I.V.A. del 18% . Quant ens costarà ?

Resoldrem el problema en dos passos: cal calcular quant pagarem amb l'I.V.A. afegit a la dada del problema; a continuació, partint d'aquest resultat, calcularem la quantitat que resultat d'aplicar-li el descompte. Val a dir que l'ordre d'aquests passos es pot invertir, atès que el resultat - com ja s'ha explicat a classe - és el mateix.


Anomenem $x$ al resultat d'afegir l'I.V.A. al preu nominal (que ens donen a l'enunciat) i plantegem la proporció

$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{x}{30,50}$

aïllant la incòngita, trobem

$x=\dfrac{30,50 \cdot 118}{100}$

resultat parcial que és igual a 35,99 €

Tot seguit, mirem quant quedaria amb el descompte; per això, anomenem $y$ a la quantitat que estem cercant i plantegem la proporció corresponent

$\dfrac{100-6}{100}=\dfrac{y}{35,99}$

aïllant la incògnita, trobem

$y=\dfrac{35,99 \cdot 94}{100}$

que, aproximant per arrodoniment als centèsims, és igual a 33,83 €
$\square$

3. Una persona va a la feina a peu; tarda 20 min si camina a una velocitat, constant, de 4 km/h . Quant de temps tardaria caminés a una velocitat, constant, de 5 km/h ?

Observem que hi ha una relació de proporcionalitat inversa entre la velocitat i el temps emprat, ja que si s'augmenta la velocitat és clar que el temps emprat en fer el recorregut haurà de ser més petit.

Anomenant $t$ al temps que tardarà a fer el recorregut si camina a una velocitat de 5 km/h, plantegem la següent proporció inversa:

$\dfrac{20}{\frac{1}{4}}=\dfrac{t}{\frac{1}{5}}$

i, d'aquí, aïllant $t$, trobem

$t=20 \cdot \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}$

i, fent el càlcul, trobem

$t=\dfrac{20 \cdot 4}{5} = 16 \; \text{min}$

$\square$

4. Si obrim una aixeta A, un dipòsit s'omple en 3 h ; per altra banda, si l'omplim obrint una aixeta B, s'omple en 2 h . Amb quant de temps l'omplirem amb les dues aixetes obertes alhora ?.

Raonem de la manera següent:

Aixeta A oberta (i B tancada):
    Si omple tot el dipòsit en 3 h, llavors en 1 h n'omple
$\dfrac{1}{3} \, \text{part}$

Aixeta B oberta (i A tancada):
    Si omple tot el dipòsit en 2 h, llavors en 1 h n'omple
$\dfrac{1}{2} \, \text{part}$

Aixetes A i B obertes alhora:
    Si en una mateixa hora, omplen
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}$
és a dir,
$\dfrac{5}{6} \, \text{parts}$
llavors, tot el dipòsit s'omplirà en un temps $t$ que calcularem tot seguit plantejant la següent proporció:

$\dfrac{1}{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{t}{\dfrac{6}{6}}$

d'on trobem que

$t=\dfrac{6}{5}=1,2 \; \text{h}$

resultat que, expressat en forma complexa, queda

1 h i 12 min

$\square$

5. Un article que hem comprat ens ha costat 45,00 € (amb un I.V.A. del 18% inclòs). Quant hauríem pagat si l'I.V.A. fos del 0% ?

El que se'ns demana en aquest problema és el preu nominal de l'article, que anomenarem $x$; per calcular-lo, plantegem la proporció

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{45,00}$

aïllant la incògnita trobem

$x=\dfrac{45,00 \cdot 100}{118}$

i aproximant per arrodoniment als centèsims (als cèntims d'euro) queda 38,14 €
$\square$

6. El cost d'un article que comprem cada final d'any augmenta d'un 1,5% cada any, en relació al que valia l'any anterior. Enguany ens ha costat 52,00 € . Quant valia l'any passat ?.

Anomenem $x$ a la quantitat que vam haver de pagar l'any passat (la incògnita del problema) i plantegem la següent proporció:

$\dfrac{100}{100+1,5}=\dfrac{x}{52,00}$

d'aquí, aïllant $x$, arribem al resultat

$x=\dfrac{52,00 \cdot 100}{101,5}$

que, aproximat als centèsims, queda 51,23 €
$\square$

7. Volem repartir un incentiu econòmic de 100,00 € entre dues persones que treballen en una empresa de recaders, de forma proporcional al nombre d'encàrrecs que cada una ha realitzat: A n'ha fet vint-i-sis; i B, dotze. Calculeu quina quantitat correspon a cada treballador.

Primer de tot, cal que entenguem que - essent justos - cal fer un repartiment directament proporcional al nombre d'encàrrecs que cada treballador ha realitzat; per això, plantejarem la següent proporció:

$\dfrac{a}{26}=\dfrac{b}{12}$

on $a$ representa la quantitat que percebrà el treballador A; i b, la quantitat que correspon a B

Per les propietats de les proporcions, sabem que s'ha de complir que

$\dfrac{a}{26}=\dfrac{b}{12}=\dfrac{a+b}{26+12}$

Sabem que $a+b$ és igual, lògicament, a la quantitat a repartir, 100,00 € i que, per tant, la constant de proporcionalitat és igual a

$\dfrac{100}{26+12}$

que, simplificada, queda

$k=\dfrac{50}{19}$

[El valor de $k$ és recomanable que el desem en una memòria de la calculadora científica, per poder fer els càlculs que venen a continuació de manera més còmoda i segura]

Ara, per acabar, ja podem calcular $a$ i $b$. Com que
$\dfrac{a}{26}=k$
tenim que
$a=26 \cdot k$
és a dir
$a=26 \cdot \dfrac{50}{19} \approx 68,42 \, \text{euros}$

i, pel que fa a $b$, en calculem el valor de manera semblant
$\dfrac{b}{12}=k$
per tant
$b=12 \cdot k$
és a dir
$b=12 \cdot \dfrac{50}{19} \approx 31,58 \, \text{euros}$

Observem que - a mode de comprovació - la suma d'ambdues quantitats és igual a 100,00 € i, la més gran, correspon a qui ha repartit més encàrrecs, tal com ha de ser.

$\square$

8. Dos esportistes es volen repartir un premi de 200,00 €, de forma propormacional al temps que cadascú ha trigat en completar la cursa: A l'ha acabat en 2 h i 45 min; i B, en 2 h i 35 min. Calculeu la quantitat que ha de percebre cadascú.

Primer de tot, cal que entenguem que cal fer un repartiment inversament proporcional a les marques de temps respectives; per això, plantejarem la següent proporció:

$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=\dfrac{b}{\frac{1}{155}}$

On $a$ representa la quantitat que percebrà l'esportista A; i b, la quantitat que correspon a B. Val a dir que hem posat les marques de temps en forma incomplexa, expressant-les en minuts.

Per les propietats de les proporcions, sabem que s'ha de complir que

$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=\dfrac{b}{\frac{1}{155}}=\dfrac{a+b}{\frac{1}{165}+\frac{1}{155}}$

Sabem que $a+b$ és igual, lògicament, a la quantitat a repartir, 200,00 € i que, per tant, la constant de proporcionalitat és igual a

$\dfrac{200}{\frac{1}{165}+\frac{1}{155}}$

que és igual a

$k=15984,375$

[El valor de la constant de proporcionalitat $k$ és recomanable que el desem en una memòria de la calculadora científica, per poder fer els càlculs que venen a continuació de manera més còmoda i segura]

Ara, per acabar, ja podem calcular $a$ i $b$. Com que
$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=k$
tenim que
$a=\dfrac{1}{165} \cdot k$
és a dir
$a=\dfrac{1}{165} \cdot 15984,375 \approx 96,88 \, \text{euros}$

i, pel que fa a $b$, en calculem el valor de manera semblant
$\dfrac{b}{\frac{1}{155}}=k$
tenim que
$a=\dfrac{1}{155} \cdot k$
és a dir
$a=\dfrac{1}{155} \cdot 15984,375 \approx 103,1\underline{2} \, \text{euros}$


Observem que - a mode de comprovació - la suma d'ambdues quantitats és igual a 200,00 € i, la més gran, correspon a qui ha trigat menys en completar la cursa.

$\square$

[nota del autor]

Ejercicios de proporcionalidad ...

1. El preu d'un producte és de 38,75 € . Afegint l'I.V.A. del 18%, quant ens costarà quan el comprem?

Anomenem $x$ a la quantitat que ens costarà. Llavors, pensant amb el significat del tant per cent, s'ha de complir la següent proporció

$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{x}{38,75}$

per tant

$x=\dfrac{38,75 \cdot 118}{100}$

que, aproximant als cèntims d'euro (per arrodoniment), és igual a

$45,73 \, \text{euros}$

$\square$

2. Quin tant per cent correspon a:
    a) trenta unitats, d'un total de trenta-cinc
    b) tres dècimes, d'un total de quatre unitats
    c) vint unitats d'un total de mil cinc-cents

Anomenant $t$ al tant per cent demanat, plantegem i resolem les següents proporcions:

a)

$\dfrac{30}{35}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{30 \cdot 100}{35} \approx 85,7 \,\%$

b)

$\dfrac{0,3}{4}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{0,3 \cdot 100}{4} = 7,5 \,\%$

c)

$\dfrac{20}{1500}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{20 \cdot 100}{1500} \approx 1,3 \,\%$

$\square$

3. Una botiga ofereix tots els seus productes rebaixats un 6%. Hem comprat un objecte pel qual hem hagut de pagat 25,30 € . Quant hauríem pagat sense el descompte ?

Designarem amb la lletra $x$ la quantitat a determinar (la quantitat de diners que hauríem de pagar si no ens fessin el descompte) i plategem la següent proporció (interpretant correctament el significat del tant per cent de descompte)

$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{25,30}$

d'aquí aïllem la incògnita i obtenim

$x=\dfrac{25,30 \cdot 100}{94} \approx 26,91 \, \text{euros}$
$\square$

4. Si ens fan un descompte del 7% per la compra d'un article que té un preu de 42,34 €, quant pagarem ?

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar i escrivim el plantejament (la proporció corresponet a la interpretació del tant per cent de descompte)

$\dfrac{100-7}{100}=\dfrac{x}{42,34}$

llavors

$x=\dfrac{93 \cdot 42,34}{100} \approx 39,38 \, \text{euros}$

$\square$

5. L'import de la factura de compra d'un determinat article (amb un I.V.A. del 18% inclòs) és de 110,50 € . Quin és el preu de l'article sense l'I.V.A. ?

Si $x$ és el preu demanat ( la quantitat que ens costaria si no s'hagués de pagar un impost del 18% d'I.V.A. ) podem plantejar la següent proporció, a partir del significat el tant per cent de recàrrec

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{110,50}$

d'aquí

$x=\dfrac{110,50 \cdot 100}{118} \approx 93,64 \, \text{euros}$

$\square$

6. Volem comprar un objecte que té un preu de 76,12 € . Quan anem a pagar, ens fan un descompte del 9% (és temps de rebaixes), però, per altra banda, cal no oblidar que haurem de pagar l'impost de l'I.V.A. (un 18% més del que val el producte). Quina quantitat haurem de pagar ?

Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem de pagar havent fet el descompte

$\dfrac{100-9}{100}=\dfrac{x}{76,12} $

d'on traiem que

$x=\dfrac{76,12 \cdot 91}{100} = 69,2692 \, \text{euros}$

Aquest resultat parcial (per això es mostren totes les seves xifres decimals) cal fer-lo servir per acabar el problema; ara, falta per calcular el que realment caldrà pagar si hi afegim l'impost de l'I.V.A., quantitat que anomenarem $y$ i que calcularem plantejant la següent proporció, partint del que acabem de calcular


$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{69,2692} $

d'aquí

$y=\dfrac{69,2692 \cdot 118}{100}$

que, aproximant per arrodoniment fins els cèntims d'euro, és igual a

$81,74 \, \text{euros}$

Observació: Cal fer notar que si calculéssim primer la quantitat a pagar afegint, primer de tot, l'I.V.A. i, a continuació, li apliquéssim el descompte - invertint l'ordre dels dos passos que hem seguit - el resultat seria el mateix, tal i com ja s'ha justificat a classe.

$\square$

[nota del autor]

Ejercicios de proporcionalidad ...

1. El preu nominal d'un article és de $12,25 \; \text{euro}$ . Si ens fan un descompte del
7%, quant pagarem ? [En aquest problema no considerarem l'I.V.A.]

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-7}{100}=\dfrac{x}{12,25}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{93 \cdot 12,25}{100} \approx 11,39 \; \text{euro}$
$\square$

2. Per un article que estava rebaixat un $12$% hem pagat $44,00 \text{euro}. Quant hauríem pagat si no ens haguessin fet el descompte ?. [En aquest problema no considerarem l'I.V.A.]

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar si l'article no estigués rebaixat. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{44,00}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{44,00 \cdot 100}{88} = 50 \; \text{euro}$
$\square$

3. Un article ens costa $83,40 \; \text{euro}$ [l'I.V.A., del $18$%, ja és inclòs al preu ]. Quin és el preu nominal de l'article ?.

Anomenem $x$ al preu nominal de l'article. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{83,40}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{83,40 \cdot 100}{118} \approx 70,68 \; \text{euro}$
$\square$

4. El preu nominal d'un article és de $24,50 \; \text{euro}$. Ens fan un descompte del $5$%. Per altra banda, l'I.V.A. és del $18$%. Quina quantitat haurem de pagar ?.

Cal resoldre el problema en dos passos. Aplicarem el descompte (o bé - si ho preferim - primer, l'I.V.A.) i, a la quantitat que obtinguem d'aquest primer pas, li aplicarem l'I.V.A. (o el descompte, si hem començat aplicant l'I.V.A.) [ A classe, ja hem vist que el resultat final no depèn de l'odre amb què fem aquests passos ].

a) Anomenem $x$ a la quantitat a pagar fent el descompte. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{x}{24,50}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{24,50 \cdot 95}{100} = 23,275$ (posem aquesta quantitat en una memòria de la calculadora científica, ja que ens queda encara un pas per acabar el càlcul)

b) Anomenem $y$ a la quantitat que resulta de carregar l'I.V.A. al resultat del 1r pas i plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{23,275}$
Aïllant $y$ trobem
$y=\dfrac{24,50 \cdot 118}{100} = 27,46 \; \text{euro}$
$\square$

5. En unes rebaixes fan el $6$% de descompte. Hem comprat un article pel qual hem pagat $32,80 \; \text{euro}$ [l'I.V.A., del $18$%, ja hi és inclòs]. Quin és el preu nominal d'aquest article ?.

Cal resoldre el problema en dos passos. Deduirem el descompte (o bé, primer, l'I.V.A.) i a continuació, de la quantitat que obtinguem d'aquest primer pas, en deduirem l'I.V.A. (o el descompte, si primer hem deduït l'I.V.A.) [ A classe, ja hem vist que el resultat final no depèn de l'odre amb què fem aquests passos ].

a) Anomenem $x$ a la quantitat que obtenim deduint el descompte. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-6}{100}=\dfrac{32,80}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{32,80 \cdot 100}{94} = 34,8936 \dots$ (posem aquesta quantitat en una memòria de la calculadora científica, ja que ens queda encara un pas per acabar el càlcul)

b) Anomenem $y$ a la quantitat que resulta de deduir l'I.V.A. del resultat obtingut al 1r pas i plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{34,8936 \dots}{y}$
[Recordeu que al numerador del 2n membre de la igualtat hi posem la quantitat que havíem desat
a la memòria de la calculadora]
Aïllant $y$ trobem
$y=\dfrac{(34,8936 \dots) \cdot 100}{118} \approx 29,57 \; \text{euro}$
$\square$

6. Volem repartir $100,00 \; \text{euros}$ entre tres participants a una cursa de fons, de forma inversament proporcional als temps que han tardat a arribar: el corredor $A$ ha tardat 3 h i 35 min; el corredor $B$, 3 h i 25 min; i el corredor $C$,3 h i 45 min. Quina quantitat correspon a cada participant ?.

Anomenamrem $a$ a la quantitat que li correspon a $A$; b, al que li correspon a $B$, i $c$ a la quantitat que pertoca a $C$.

Primer de tot, expressarem les unitats en forma incomplexa per poder fer els càlculs còmodament:
El temps de $A$: 3 h i 35 min = 215 min
El temps de $B$: 3 h i 25 min = 205 min
El temps de $C$: 3 h i 45 min = 225 min

Cal tenir en compte que la quantitat que a un corredor li pertoca és inversament proporcional al temps que ha tardat en arribar; per això, escriurem
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=\dfrac{c}{\frac{1}{225}}$

I, per les propietats de les raons aritmètiques, s'haurà de complir que
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=\dfrac{c}{\frac{1}{225}}=\dfrac{a+b+c}{\frac{1}{215}+\frac{1}{205}+\frac{1}{225}}$

L'últim membre representa la constant de proporcionalitat $m$ i, com que, $a+b+c=100,00$, trobem que és igual a $7156,323291$, quantitat és recomanable que la deseu en una memòria de la calculadora científica (STO m) per fer còmodament els càlculs que segueixen de manera segura i còmoda, recuperant-la (RCL m) quan calgui fer-la servir.

Fet això, i per acabar, calcularem els valors de $a$, $b$ i $c$:
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=m \Rightarrow a=\dfrac{m}{215} \approx 33,29 \, \text{euro}$

$\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=m \Rightarrow b=\dfrac{m}{205} \approx 34,91 \, \text{euro}$

$\dfrac{c}{\frac{1}{215}}=m \Rightarrow c=\dfrac{m}{225} \approx 31,8\underline{0} \, \text{euro}$

Comprovació: $33,29+34,91+31,8\underline{0} = 100,00$
$\square$

7. Volem repartir $300,00 \; \text{euros}$ entre tres persones que han repartit formularis d'una enquesta, de forma directament proporcional al nombre de formularis que, cada u, hagi aportat. L'enquestador $A$ ha portat $42$ formularis; B, $25$; i $C$ n'ha portat $32$ . Quina quantitat correspon a cada enquestador ?.

Anomenamrem $a$ a la quantitat que li correspon a $A$; b, al que li correspon a $B$, i $c$ a la quantitat que pertoca a $C$.

Per les propietats de les raons s'haurà de complir que
$\dfrac{a}{42}=\dfrac{b}{25}=\dfrac{c}{32}=\dfrac{a+b+c}{42+25+32}$

L'últim membre representa la constant de proporcionalitat $m$ i, com que, $a+b+c=300,00$, trobem que , simplificat, és igual a
$\dfrac{100}{33}$

Aquesta quantitat és recomanable que la deseu en una memòria de la calculadora científica (STO m) per fer còmodament els càlculs que segueixen de manera segura i còmoda, recuperant-la (RCL m) quan calgui fer-la servir.

Fet això, i per acabar, calcularem els valors de $a$, $b$ i $c$:
$\dfrac{a}{42}=m \Rightarrow a=42\,m \approx 127,27 \, \text{euro}$

$\dfrac{b}{25}=m \Rightarrow b=25\,m \approx 75,76 \, \text{euro}$

$\dfrac{c}{32}=m \Rightarrow c=32\,m \approx 96,97 \, \text{euro}$

Comprovació: $127,27+75,76+96,97 = 300,00$
$\square$

8. Un excursionista tarda 3 h i 35 min per anar de casa seva a un refugi, caminant a una velocitat constant de $4$ km/h . Si, per fer el mateix trajecte, caminés a $5$ km/h, quant de temps tardaria ?

Tinguem en compte que les dues magnituds relacionades en aquest problema són inversament proporcionals l'una respecte de l'altra. Anomenarem $t$ al temps que volem calcular, i expressarem la quantitat de temps que ens donen com a dada en forma incomplexa ( 3 h i 35 min = 215 min ).

Plantegem la proporció (inversa):
$\dfrac{215}{\frac{1}{4}}=\dfrac{t}{\frac{1}{5}}$
Aïllant la incògnita $t$ trobem
$t=\dfrac{215 \cdot \frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}=172 \; \text{min} $
és a dir
2 h i 52 min
$\square$

[nota del autor]

Ejercicios de proporcionalidad ...

1. El preu nominal d'un article es de 22,35 € (I.V.A. inclòs). Si ens fan un descompte del 5%, quant pagarem ? .

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar; llavors, entenent el significat del tant per cent de descompte, podrem plantejar la següent proporció

$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{x}{22,35}$

d'on, aïllant la incògnita

$x=\dfrac{22,35 \cdot 95}{100}$

aproximant als centèsims

$x \approx 21,23 \, \text{euros}$
$\square$

2. Per un article que estava rebaixat en un 8% hem pagat 62,54 € (I.V.A. inclòs). Quant haur íem pagat si no ens haguessin fet el descompte ?

Anomenem $x$ a la quantitat que pagaríem si no ens haguessin fet el descompte. De la interpretació del tant per cent de descompte que ens donen com a dada, podrem plantejar la
següent proporció

$\dfrac{100}{100-8}=\dfrac{x}{62,54}$

d'on, aïllant la incògnita, trobem

$x=\dfrac{62,54 \cdot 100}{92}$

$x \approx 67,98 \, \text{euros}$
$\square$

3. Un article ens costa 21,78 € (amb I.V.A. del 18% inclòs). Quin es el preu nominal de l'article ?

Si anomenem $x$ al preu nominal de l'article, d'acord amb l'enunciat s'ha de complir

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{21,78} $

d'on

$x=\dfrac{21,78 \cdot 100}{118} \approx 18,46 \, \text{euros}$
$\square$

4. El preu nominal d'un article es de 35,42 € . Ens fan un descompte del 4%, i l'I.V.A. es del 18%. Quina quantitat haurem de pagar ?

Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem de pagar havent fet el descompte

$\dfrac{100-4}{100}=\dfrac{x}{35,42} $

d'on traiem que

$x=\dfrac{35,42 \cdot 96}{100} \approx 34,0032 \, \text{euros}$

Conservem totes les xifres decimals d'aquest resultat (que podem desar en una memòria de la calcladora) perquè encara ens falta un pas més: calcular el que realment caldrà pagar si hi afegim l'impost de l'I.V.A., quantitat que anomenarem $y$ i que calcularem plantejant la següent proporció, partint del que acabem de calcular


$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{34,0032} $

d'aquí

$y=\dfrac{34,00 \cdot 118}{100}$

que és igual a

$40,12 \, \text{euros}$

Observació: Cal fer notar que si calculéssim primer la quantitat a pagar afegint l'I.V.A. a la dada del problema i, a continuació, d'aquesta en féssim el descompte - invertint l'ordre dels dos passos que hem seguit - el resultat seria el mateix, tal i com ja s'ha justificat a classe.

$\square$

5. En unes rebaixes (7% de descompte), hem comprat un article que ens ha costat 19,10 € (I.V.A. del 18% inclòs). Quin és el preu nominal d'aquest article ?

Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem hagut de pagar si no estigués rebaixat

$\dfrac{100}{100-7}=\dfrac{x}{19,10} $

d'on traiem que

$x=\dfrac{19,10 \cdot 100}{93} \approx 20,54 \, \text{euros}$

Si, a partir d'aquest resultat, calculem el que hauríem de pagar si l'I.V.A. no s'hi hagués d'afegir

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{y}{20,54} $

d'aquí

$y=\dfrac{20,54 \cdot 100}{118}$

que és igual a

$17,41 \, \text{euros}$

Observació: Com ja 'ha comentat a l'exerici anterior, podem invertir l'ordre dels passos que hem seguit; s'obtindrà el mateix resultat.

$\square$

6.Volem repartir 90,00 € entre tres corredors de fons que han participat en una marató, de forma inversament proporcional al temps que cadascú ha trigat per completar la cursa: A ha tardat 3h 15 min; B, 3 h 45 min; i C, 3 h 25 min . Quant percebrà cadascun del tres corredors ?.

Anomenem $a$, a la quantitat que ha de percebre A; $b$, a la que ha de percebre B; i $c$ a la que correspondrà a C

Llavors s'ha de complir

$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}=\dfrac{b}{\frac{1}{225}}=\dfrac{c}{\frac{1}{205}}$

La constant de proporcionalitat $k$ és igual a la raó aritmètica

$\dfrac{a+b+c}{\frac{1}{195}+\frac{1}{225}+\frac{1}{205}}$

que és equivalent qualsevol de les tres raons aritmètiques

$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}$

$\dfrac{b}{\frac{1}{225}}$

i

$\dfrac{c}{\frac{1}{205}}$

Com que $a+b+c=90,00$
trobem el valor de la constant de proporcionalitat
$k = 6228,072706$
que aconsellem que deseu en una memòria de la calculadora científica, per tal de fer els càlculs que encara falten per acabar el problema amb prou comoditat i seguretat

I, per acabar, fem

$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}=k$
i, per tant
$a = \dfrac{k}{195}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$a \approx 31,94 \, \text{euros}$

$\dfrac{b}{\frac{1}{225}}=k$
i, per tant
$b = \dfrac{k}{225}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$b \approx 27,68 \, \text{euros}$

$\dfrac{c}{\frac{1}{205}}=k$
i, per tant
$c = \dfrac{k}{205}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$c \approx 30,38 \, \text{euros}$

A mode de comprovació observem que: 1) la suma de les tres quantitats és igual a la quantitat total a repartir i 2) a qui tarda més temps li correspon menys premi (tal com ha de ser).
$\square$

7.Volem repartir 150,00 € entre tres persones que han col·laborat a repartir qüestionaris d'una enquesta, de forma directament prporcional al nombre de qüestionaris que cadascú ha aportat. Una d'elles n'ha portat 12; una altra, 5; i la tercera, 10. Quant correspon a cada un dels tres enquestadors ?.

Com en el problema anterior, anomenem $a$, a la quantitat que ha de percebre A; $b$, a la que ha de percebre B; i $c$ a la que correspondrà a C. En aquest cas, però, la relació de proporcionalitat és directa

Llavors s'ha de complir

$\dfrac{a}{12}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{10}$

La constant de proporcionalitat $k$ és igual a la raó aritmètica

$\dfrac{a+b+c}{12+5+10}$

que és equivalent qualsevol de les tres raons aritmètiques

$\dfrac{a}{12}$

$\dfrac{b}{5}$

i

$\dfrac{c}{10}$

Com que $a+b+c=150,00$
trobem el valor de la constant de proporcionalitat
$k = \dfrac{50}{9}$
que haurieu de desar en una memòria de la calculadora científica, per tal de fer els càlculs que encara falten per acabar el problema amb prou comoditat i seguretat

I, per acabar, fem

$\dfrac{a}{12}=k$
i, per tant
$a = 12 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$a \approx 66,67 \, \text{euros}$

$\dfrac{b}{5}=k$
i, per tant
$b = 5 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$b \approx 27,78 \, \text{euros}$

$\dfrac{c}{10}=k$
i, per tant
$c = 10 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$c \approx 55,5\underline{5} \, \text{euros}$


A mode de comprovació observem que: 1) la suma de les tres quantitats és igual a la quantitat total a repartir i 2) a qui porti més qüestionaris (a qui faci més feina) més li haurà de correspondre (de forma justa i lògica).
$\square$

8. Un excursionista tarda 1 h 15 min a fer el cam entre dos refugis, caminant a una velocitat constant de 5 km/h . Si la velocitat fos de 3 km/h, amb quant de temps faria el recorregut ?

Donada la relació de proporcionalitat inversa que hi ha entre la velocitat i la longitud del trajecte recorregut en un mateix interval de temps, podem plantejar la següent proporció

$\dfrac{75}{\frac{1}{5}}=\dfrac{t}{\frac{1}{3}}$

expressió, on $t$ expressa la quantitat de temps que trigarà a fer el recorregut a la nova velocitat.

Per comoditat, hem expressat el tems en minuts; malgrat la velocitat vingui donada en quilòmetres per hora, no cal convertir a unitats homogènies perquè el factor de conversió figuraria en tots dos membres de la igualtat i, per tant, es simplificaria.

Aïllant $t$ trobem

$t=\dfrac{75 \cdot 5}{3}$

que és igual a 125 min; és a dir, 2 h i 5 min .

$\square$

[nota del autor]

Para conseguir un aumento de temperatura de ...

ENUNCIADO
Para conseguir un aumento de temperatura de $20$ grados centígrados en $2$ litros de un cierto líquido se han necesitado $1000$ calorías al calentarlo. Si queremos producir un aumento de temperatura de $50$ grados centígrados en $3$ litros del mismo líquido, ¿ cuántas calorías son necesarias ? \textsf{( Ayuda: Debe tratarse esta cuestión como un problema de proporcionalidad compuesta ). }

SOLUCIÓN
Denotamos por $x$ al número de calorías pedido. En este problema aparecen tres magnitudes relacionadas: la energía ( en forma de calor ) con la que se eleva la temperatura del líquido; el aumento de temperatura, y la cantidad de líquido. La primera es directamente proporcional a la segunda; y también es directamente proporcional a la tercera.

Razonamos, ahora, en dos pasos:

I) Si se necesitan $1000$ calorías para conseguir un aumento de $20$ grados centígrados en $2$ litros de líquido, entonces cabe plantear la siguiente proporción directa ( entre el número de calorías y la cantidad de líquido ) para calcular la cantidad de calorías, $x'$, que ello supone $$\dfrac{x'}{3}=\dfrac{1000}{2}$$ de donde $$x'=1000\cdot \dfrac{3}{2}$$

II) Por otra parte, para conseguir un aumento de temperatura de $50$ grados centígrados, en lugar de un aumento de $20$ grados centígrados, podemos plantear la siguiente proporción ( también directa, entre el número de calorías pedido, $x$, y el aumento de temperatura ) $$\dfrac{x}{x'}=\dfrac{50}{20}$$ De aquí $$x=x'\cdot \dfrac{50}{20}$$ es decir $$x=1000\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{50}{20} = 3750 \, \text{calorías} $$

-oOo-
Otra forma ( abreviada):
La razón aritmética $\dfrac{x}{1000}$ ha de ser igual a la constante de proporcionalidad compuesta $k=k_1 \cdot k_2$, donde $k_1=\dfrac{3}{2}$ y $k_2=\dfrac{50}{20}$; por tanto, $$\dfrac{x}{1000}=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{50}{20}$$ y, despejando $x$, obtenemos $$x=1000 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{50}{20} = 3750 \, \text{calorías}$$
$\square$

[nota del autor]

Dos pintores ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Dos pintors igualment eficients i treballant en paral·lel tarden $30 \; \text{min}$ a pintar un pany de paret de $6\; \text{m}^2$. Quant de temps trigaran tres pintors igualment hàbils per pintar un pany de paret de $25 \; \text{m}^2$ ?

Solució:
Intervenen en aquest problema tres magnituds: a) el temps emprat a pintar; b) l'àrea de paret a pintar; i c) el nombre de pintors que treballen en paral·lel.

En intervenir més de dues mangnituds, tenim un problema de proporcionalitat composta entre els següents parells de magnituds: i) el temps emprat i el nombre de pintors (que és una relació de p. inversa); i ii) el temps emprat i l'àrea de paret a pintar (que és una relació de p. directa).

Resoldrem el problema mitjançant dos passos encadenats (dues proporcions enllaçades). Plantejarem, doncs, aquestes dues proporcions:

  i)     Calculem el temps que tardarien $3$ pintors (en comptes de $2$ pintors ) a pintar la mateixa àrea de paret ( $6\; \text{m}^2$ ):

    $\dfrac{30}{\frac{1}{2}}=\dfrac{t_1}{\frac{1}{3}}$
i d'aquí trobem que
    $t_1=20 \; \text{min}\quad \quad (1)$

  ii)     Fet això, calculem quant de temps tardarien els tres pintors a pintar $25 \; \text{m}^2$

    $\dfrac{t_2}{25}=\dfrac{t_1}{6} \quad \quad (2)$

Finalment, tenint en compte [ de (1) ] que $t_1=20\; \text{min}$, substituïm aquest resultat parcial en (2) i trobem
    $t_2=\dfrac{25}{6}\cdot 20$
        $=83,\bar{3} \; \text{min}$
        $=1\; \text{h}\;\;23\;\text{min}\;\;20\;\text{s}$

$\blacksquare$

Observació: Si canviem l'odre d'aplicació de les proporcions s'obtindrà, com és ben evident, el mateix resultat.

[nota del autor]