Diversos ejercicios de proporcionalidad ...

1. Hem comprat un article que estava rebaixat en un 6%. Si hem pagat 32,00 € (I.V.A. inclòs), quant hauríem pagat si no ens haguessin fet el descompte?

Anomenem $x$ a la quantitat que haurem de pagar si, en proporció, ens descompten sis euros de cada cent que valgui un cert article

$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{32,00}$

aïllant la incòngita, trobem

$x=\dfrac{32,00 \cdot 100}{94}$

i, aproximant el càlcul (per arrodoniment) fins els cèntims d'euro, trobem la quantitat que haurem de pagar: 34,04 €
$\square$

2. El preu nominal d'un article és de 30,50 € . Ens fan un desc ompte del 6%; per altra banda, cal pagar l'impost de l'I.V.A. del 18% . Quant ens costarà ?

Resoldrem el problema en dos passos: cal calcular quant pagarem amb l'I.V.A. afegit a la dada del problema; a continuació, partint d'aquest resultat, calcularem la quantitat que resultat d'aplicar-li el descompte. Val a dir que l'ordre d'aquests passos es pot invertir, atès que el resultat - com ja s'ha explicat a classe - és el mateix.


Anomenem $x$ al resultat d'afegir l'I.V.A. al preu nominal (que ens donen a l'enunciat) i plantegem la proporció

$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{x}{30,50}$

aïllant la incòngita, trobem

$x=\dfrac{30,50 \cdot 118}{100}$

resultat parcial que és igual a 35,99 €

Tot seguit, mirem quant quedaria amb el descompte; per això, anomenem $y$ a la quantitat que estem cercant i plantegem la proporció corresponent

$\dfrac{100-6}{100}=\dfrac{y}{35,99}$

aïllant la incògnita, trobem

$y=\dfrac{35,99 \cdot 94}{100}$

que, aproximant per arrodoniment als centèsims, és igual a 33,83 €
$\square$

3. Una persona va a la feina a peu; tarda 20 min si camina a una velocitat, constant, de 4 km/h . Quant de temps tardaria caminés a una velocitat, constant, de 5 km/h ?

Observem que hi ha una relació de proporcionalitat inversa entre la velocitat i el temps emprat, ja que si s'augmenta la velocitat és clar que el temps emprat en fer el recorregut haurà de ser més petit.

Anomenant $t$ al temps que tardarà a fer el recorregut si camina a una velocitat de 5 km/h, plantegem la següent proporció inversa:

$\dfrac{20}{\frac{1}{4}}=\dfrac{t}{\frac{1}{5}}$

i, d'aquí, aïllant $t$, trobem

$t=20 \cdot \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}$

i, fent el càlcul, trobem

$t=\dfrac{20 \cdot 4}{5} = 16 \; \text{min}$

$\square$

4. Si obrim una aixeta A, un dipòsit s'omple en 3 h ; per altra banda, si l'omplim obrint una aixeta B, s'omple en 2 h . Amb quant de temps l'omplirem amb les dues aixetes obertes alhora ?.

Raonem de la manera següent:

Aixeta A oberta (i B tancada):
    Si omple tot el dipòsit en 3 h, llavors en 1 h n'omple
$\dfrac{1}{3} \, \text{part}$

Aixeta B oberta (i A tancada):
    Si omple tot el dipòsit en 2 h, llavors en 1 h n'omple
$\dfrac{1}{2} \, \text{part}$

Aixetes A i B obertes alhora:
    Si en una mateixa hora, omplen
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}$
és a dir,
$\dfrac{5}{6} \, \text{parts}$
llavors, tot el dipòsit s'omplirà en un temps $t$ que calcularem tot seguit plantejant la següent proporció:

$\dfrac{1}{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{t}{\dfrac{6}{6}}$

d'on trobem que

$t=\dfrac{6}{5}=1,2 \; \text{h}$

resultat que, expressat en forma complexa, queda

1 h i 12 min

$\square$

5. Un article que hem comprat ens ha costat 45,00 € (amb un I.V.A. del 18% inclòs). Quant hauríem pagat si l'I.V.A. fos del 0% ?

El que se'ns demana en aquest problema és el preu nominal de l'article, que anomenarem $x$; per calcular-lo, plantegem la proporció

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{45,00}$

aïllant la incògnita trobem

$x=\dfrac{45,00 \cdot 100}{118}$

i aproximant per arrodoniment als centèsims (als cèntims d'euro) queda 38,14 €
$\square$

6. El cost d'un article que comprem cada final d'any augmenta d'un 1,5% cada any, en relació al que valia l'any anterior. Enguany ens ha costat 52,00 € . Quant valia l'any passat ?.

Anomenem $x$ a la quantitat que vam haver de pagar l'any passat (la incògnita del problema) i plantegem la següent proporció:

$\dfrac{100}{100+1,5}=\dfrac{x}{52,00}$

d'aquí, aïllant $x$, arribem al resultat

$x=\dfrac{52,00 \cdot 100}{101,5}$

que, aproximat als centèsims, queda 51,23 €
$\square$

7. Volem repartir un incentiu econòmic de 100,00 € entre dues persones que treballen en una empresa de recaders, de forma proporcional al nombre d'encàrrecs que cada una ha realitzat: A n'ha fet vint-i-sis; i B, dotze. Calculeu quina quantitat correspon a cada treballador.

Primer de tot, cal que entenguem que - essent justos - cal fer un repartiment directament proporcional al nombre d'encàrrecs que cada treballador ha realitzat; per això, plantejarem la següent proporció:

$\dfrac{a}{26}=\dfrac{b}{12}$

on $a$ representa la quantitat que percebrà el treballador A; i b, la quantitat que correspon a B

Per les propietats de les proporcions, sabem que s'ha de complir que

$\dfrac{a}{26}=\dfrac{b}{12}=\dfrac{a+b}{26+12}$

Sabem que $a+b$ és igual, lògicament, a la quantitat a repartir, 100,00 € i que, per tant, la constant de proporcionalitat és igual a

$\dfrac{100}{26+12}$

que, simplificada, queda

$k=\dfrac{50}{19}$

[El valor de $k$ és recomanable que el desem en una memòria de la calculadora científica, per poder fer els càlculs que venen a continuació de manera més còmoda i segura]

Ara, per acabar, ja podem calcular $a$ i $b$. Com que
$\dfrac{a}{26}=k$
tenim que
$a=26 \cdot k$
és a dir
$a=26 \cdot \dfrac{50}{19} \approx 68,42 \, \text{euros}$

i, pel que fa a $b$, en calculem el valor de manera semblant
$\dfrac{b}{12}=k$
per tant
$b=12 \cdot k$
és a dir
$b=12 \cdot \dfrac{50}{19} \approx 31,58 \, \text{euros}$

Observem que - a mode de comprovació - la suma d'ambdues quantitats és igual a 100,00 € i, la més gran, correspon a qui ha repartit més encàrrecs, tal com ha de ser.

$\square$

8. Dos esportistes es volen repartir un premi de 200,00 €, de forma propormacional al temps que cadascú ha trigat en completar la cursa: A l'ha acabat en 2 h i 45 min; i B, en 2 h i 35 min. Calculeu la quantitat que ha de percebre cadascú.

Primer de tot, cal que entenguem que cal fer un repartiment inversament proporcional a les marques de temps respectives; per això, plantejarem la següent proporció:

$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=\dfrac{b}{\frac{1}{155}}$

On $a$ representa la quantitat que percebrà l'esportista A; i b, la quantitat que correspon a B. Val a dir que hem posat les marques de temps en forma incomplexa, expressant-les en minuts.

Per les propietats de les proporcions, sabem que s'ha de complir que

$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=\dfrac{b}{\frac{1}{155}}=\dfrac{a+b}{\frac{1}{165}+\frac{1}{155}}$

Sabem que $a+b$ és igual, lògicament, a la quantitat a repartir, 200,00 € i que, per tant, la constant de proporcionalitat és igual a

$\dfrac{200}{\frac{1}{165}+\frac{1}{155}}$

que és igual a

$k=15984,375$

[El valor de la constant de proporcionalitat $k$ és recomanable que el desem en una memòria de la calculadora científica, per poder fer els càlculs que venen a continuació de manera més còmoda i segura]

Ara, per acabar, ja podem calcular $a$ i $b$. Com que
$\dfrac{a}{\frac{1}{165}}=k$
tenim que
$a=\dfrac{1}{165} \cdot k$
és a dir
$a=\dfrac{1}{165} \cdot 15984,375 \approx 96,88 \, \text{euros}$

i, pel que fa a $b$, en calculem el valor de manera semblant
$\dfrac{b}{\frac{1}{155}}=k$
tenim que
$a=\dfrac{1}{155} \cdot k$
és a dir
$a=\dfrac{1}{155} \cdot 15984,375 \approx 103,1\underline{2} \, \text{euros}$


Observem que - a mode de comprovació - la suma d'ambdues quantitats és igual a 200,00 € i, la més gran, correspon a qui ha trigat menys en completar la cursa.

$\square$

[nota del autor]