Ejercicios de proporcionalidad ...

1. El preu d'un producte és de 38,75 € . Afegint l'I.V.A. del 18%, quant ens costarà quan el comprem?

Anomenem $x$ a la quantitat que ens costarà. Llavors, pensant amb el significat del tant per cent, s'ha de complir la següent proporció

$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{x}{38,75}$

per tant

$x=\dfrac{38,75 \cdot 118}{100}$

que, aproximant als cèntims d'euro (per arrodoniment), és igual a

$45,73 \, \text{euros}$

$\square$

2. Quin tant per cent correspon a:
    a) trenta unitats, d'un total de trenta-cinc
    b) tres dècimes, d'un total de quatre unitats
    c) vint unitats d'un total de mil cinc-cents

Anomenant $t$ al tant per cent demanat, plantegem i resolem les següents proporcions:

a)

$\dfrac{30}{35}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{30 \cdot 100}{35} \approx 85,7 \,\%$

b)

$\dfrac{0,3}{4}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{0,3 \cdot 100}{4} = 7,5 \,\%$

c)

$\dfrac{20}{1500}=\dfrac{t}{100}$
d'on
$t=\dfrac{20 \cdot 100}{1500} \approx 1,3 \,\%$

$\square$

3. Una botiga ofereix tots els seus productes rebaixats un 6%. Hem comprat un objecte pel qual hem hagut de pagat 25,30 € . Quant hauríem pagat sense el descompte ?

Designarem amb la lletra $x$ la quantitat a determinar (la quantitat de diners que hauríem de pagar si no ens fessin el descompte) i plategem la següent proporció (interpretant correctament el significat del tant per cent de descompte)

$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{25,30}$

d'aquí aïllem la incògnita i obtenim

$x=\dfrac{25,30 \cdot 100}{94} \approx 26,91 \, \text{euros}$
$\square$

4. Si ens fan un descompte del 7% per la compra d'un article que té un preu de 42,34 €, quant pagarem ?

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar i escrivim el plantejament (la proporció corresponet a la interpretació del tant per cent de descompte)

$\dfrac{100-7}{100}=\dfrac{x}{42,34}$

llavors

$x=\dfrac{93 \cdot 42,34}{100} \approx 39,38 \, \text{euros}$

$\square$

5. L'import de la factura de compra d'un determinat article (amb un I.V.A. del 18% inclòs) és de 110,50 € . Quin és el preu de l'article sense l'I.V.A. ?

Si $x$ és el preu demanat ( la quantitat que ens costaria si no s'hagués de pagar un impost del 18% d'I.V.A. ) podem plantejar la següent proporció, a partir del significat el tant per cent de recàrrec

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{110,50}$

d'aquí

$x=\dfrac{110,50 \cdot 100}{118} \approx 93,64 \, \text{euros}$

$\square$

6. Volem comprar un objecte que té un preu de 76,12 € . Quan anem a pagar, ens fan un descompte del 9% (és temps de rebaixes), però, per altra banda, cal no oblidar que haurem de pagar l'impost de l'I.V.A. (un 18% més del que val el producte). Quina quantitat haurem de pagar ?

Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem de pagar havent fet el descompte

$\dfrac{100-9}{100}=\dfrac{x}{76,12} $

d'on traiem que

$x=\dfrac{76,12 \cdot 91}{100} = 69,2692 \, \text{euros}$

Aquest resultat parcial (per això es mostren totes les seves xifres decimals) cal fer-lo servir per acabar el problema; ara, falta per calcular el que realment caldrà pagar si hi afegim l'impost de l'I.V.A., quantitat que anomenarem $y$ i que calcularem plantejant la següent proporció, partint del que acabem de calcular


$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{69,2692} $

d'aquí

$y=\dfrac{69,2692 \cdot 118}{100}$

que, aproximant per arrodoniment fins els cèntims d'euro, és igual a

$81,74 \, \text{euros}$

Observació: Cal fer notar que si calculéssim primer la quantitat a pagar afegint, primer de tot, l'I.V.A. i, a continuació, li apliquéssim el descompte - invertint l'ordre dels dos passos que hem seguit - el resultat seria el mateix, tal i com ja s'ha justificat a classe.

$\square$

[nota del autor]