Ejercicios de proporcionalidad ...

1. El preu nominal d'un article es de 22,35 € (I.V.A. inclòs). Si ens fan un descompte del 5%, quant pagarem ? .

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar; llavors, entenent el significat del tant per cent de descompte, podrem plantejar la següent proporció

$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{x}{22,35}$

d'on, aïllant la incògnita

$x=\dfrac{22,35 \cdot 95}{100}$

aproximant als centèsims

$x \approx 21,23 \, \text{euros}$
$\square$

2. Per un article que estava rebaixat en un 8% hem pagat 62,54 € (I.V.A. inclòs). Quant haur íem pagat si no ens haguessin fet el descompte ?

Anomenem $x$ a la quantitat que pagaríem si no ens haguessin fet el descompte. De la interpretació del tant per cent de descompte que ens donen com a dada, podrem plantejar la
següent proporció

$\dfrac{100}{100-8}=\dfrac{x}{62,54}$

d'on, aïllant la incògnita, trobem

$x=\dfrac{62,54 \cdot 100}{92}$

$x \approx 67,98 \, \text{euros}$
$\square$

3. Un article ens costa 21,78 € (amb I.V.A. del 18% inclòs). Quin es el preu nominal de l'article ?

Si anomenem $x$ al preu nominal de l'article, d'acord amb l'enunciat s'ha de complir

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{21,78}$

d'on

$x=\dfrac{21,78 \cdot 100}{118} \approx 18,46 \, \text{euros}$
$\square$

4. El preu nominal d'un article es de 35,42 € . Ens fan un descompte del 4%, i l'I.V.A. es del 18%. Quina quantitat haurem de pagar ?

Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem de pagar havent fet el descompte

$\dfrac{100-4}{100}=\dfrac{x}{35,42}$

d'on traiem que

$x=\dfrac{35,42 \cdot 96}{100} \approx 34,0032 \, \text{euros}$

Conservem totes les xifres decimals d'aquest resultat (que podem desar en una memòria de la calcladora) perquè encara ens falta un pas més: calcular el que realment caldrà pagar si hi afegim l'impost de l'I.V.A., quantitat que anomenarem $y$ i que calcularem plantejant la següent proporció, partint del que acabem de calcular


$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{34,0032}$

d'aquí

$y=\dfrac{34,00 \cdot 118}{100}$

que és igual a

$40,12 \, \text{euros}$

Observació: Cal fer notar que si calculéssim primer la quantitat a pagar afegint l'I.V.A. a la dada del problema i, a continuació, d'aquesta en féssim el descompte - invertint l'ordre dels dos passos que hem seguit - el resultat seria el mateix, tal i com ja s'ha justificat a classe.

$\square$

5. En unes rebaixes (7% de descompte), hem comprat un article que ens ha costat 19,10 € (I.V.A. del 18% inclòs). Quin és el preu nominal d'aquest article ?

Si anomenem $x$ a la quantitat que hauríem hagut de pagar si no estigués rebaixat

$\dfrac{100}{100-7}=\dfrac{x}{19,10}$

d'on traiem que

$x=\dfrac{19,10 \cdot 100}{93} \approx 20,54 \, \text{euros}$

Si, a partir d'aquest resultat, calculem el que hauríem de pagar si l'I.V.A. no s'hi hagués d'afegir

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{y}{20,54}$

d'aquí

$y=\dfrac{20,54 \cdot 100}{118}$

que és igual a

$17,41 \, \text{euros}$

Observació: Com ja 'ha comentat a l'exerici anterior, podem invertir l'ordre dels passos que hem seguit; s'obtindrà el mateix resultat.

$\square$

6.Volem repartir 90,00 € entre tres corredors de fons que han participat en una marató, de forma inversament proporcional al temps que cadascú ha trigat per completar la cursa: A ha tardat 3h 15 min; B, 3 h 45 min; i C, 3 h 25 min . Quant percebrà cadascun del tres corredors ?.

Anomenem $a$, a la quantitat que ha de percebre A; $b$, a la que ha de percebre B; i $c$ a la que correspondrà a C

Llavors s'ha de complir

$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}=\dfrac{b}{\frac{1}{225}}=\dfrac{c}{\frac{1}{205}}$

La constant de proporcionalitat $k$ és igual a la raó aritmètica

$\dfrac{a+b+c}{\frac{1}{195}+\frac{1}{225}+\frac{1}{205}}$

que és equivalent qualsevol de les tres raons aritmètiques

$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}$

$\dfrac{b}{\frac{1}{225}}$

i

$\dfrac{c}{\frac{1}{205}}$

Com que $a+b+c=90,00$
trobem el valor de la constant de proporcionalitat
$k = 6228,072706$
que aconsellem que deseu en una memòria de la calculadora científica, per tal de fer els càlculs que encara falten per acabar el problema amb prou comoditat i seguretat

I, per acabar, fem

$\dfrac{a}{\frac{1}{195}}=k$
i, per tant
$a = \dfrac{k}{195}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$a \approx 31,94 \, \text{euros}$

$\dfrac{b}{\frac{1}{225}}=k$
i, per tant
$b = \dfrac{k}{225}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$b \approx 27,68 \, \text{euros}$

$\dfrac{c}{\frac{1}{205}}=k$
i, per tant
$c = \dfrac{k}{205}$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$c \approx 30,38 \, \text{euros}$

A mode de comprovació observem que: 1) la suma de les tres quantitats és igual a la quantitat total a repartir i 2) a qui tarda més temps li correspon menys premi (tal com ha de ser).
$\square$

7.Volem repartir 150,00 € entre tres persones que han col·laborat a repartir qüestionaris d'una enquesta, de forma directament prporcional al nombre de qüestionaris que cadascú ha aportat. Una d'elles n'ha portat 12; una altra, 5; i la tercera, 10. Quant correspon a cada un dels tres enquestadors ?.

Com en el problema anterior, anomenem $a$, a la quantitat que ha de percebre A; $b$, a la que ha de percebre B; i $c$ a la que correspondrà a C. En aquest cas, però, la relació de proporcionalitat és directa

Llavors s'ha de complir

$\dfrac{a}{12}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{10}$

La constant de proporcionalitat $k$ és igual a la raó aritmètica

$\dfrac{a+b+c}{12+5+10}$

que és equivalent qualsevol de les tres raons aritmètiques

$\dfrac{a}{12}$

$\dfrac{b}{5}$

i

$\dfrac{c}{10}$

Com que $a+b+c=150,00$
trobem el valor de la constant de proporcionalitat
$k = \dfrac{50}{9}$
que haurieu de desar en una memòria de la calculadora científica, per tal de fer els càlculs que encara falten per acabar el problema amb prou comoditat i seguretat

I, per acabar, fem

$\dfrac{a}{12}=k$
i, per tant
$a = 12 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$a \approx 66,67 \, \text{euros}$

$\dfrac{b}{5}=k$
i, per tant
$b = 5 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$b \approx 27,78 \, \text{euros}$

$\dfrac{c}{10}=k$
i, per tant
$c = 10 \, k$
que, aproximant als cèntims d'euro, queda
$c \approx 55,5\underline{5} \, \text{euros}$


A mode de comprovació observem que: 1) la suma de les tres quantitats és igual a la quantitat total a repartir i 2) a qui porti més qüestionaris (a qui faci més feina) més li haurà de correspondre (de forma justa i lògica).
$\square$

8. Un excursionista tarda 1 h 15 min a fer el cam entre dos refugis, caminant a una velocitat constant de 5 km/h . Si la velocitat fos de 3 km/h, amb quant de temps faria el recorregut ?

Donada la relació de proporcionalitat inversa que hi ha entre la velocitat i la longitud del trajecte recorregut en un mateix interval de temps, podem plantejar la següent proporció

$\dfrac{75}{\frac{1}{5}}=\dfrac{t}{\frac{1}{3}}$

expressió, on $t$ expressa la quantitat de temps que trigarà a fer el recorregut a la nova velocitat.

Per comoditat, hem expressat el tems en minuts; malgrat la velocitat vingui donada en quilòmetres per hora, no cal convertir a unitats homogènies perquè el factor de conversió figuraria en tots dos membres de la igualtat i, per tant, es simplificaria.

Aïllant $t$ trobem

$t=\dfrac{75 \cdot 5}{3}$

que és igual a 125 min; és a dir, 2 h i 5 min .

$\square$

[nota del autor]