Ejercicios de proporcionalidad ...

1. El preu nominal d'un article és de $12,25 \; \text{euro}$ . Si ens fan un descompte del
7%, quant pagarem ? [En aquest problema no considerarem l'I.V.A.]

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-7}{100}=\dfrac{x}{12,25}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{93 \cdot 12,25}{100} \approx 11,39 \; \text{euro}$
$\square$

2. Per un article que estava rebaixat un $12$% hem pagat $44,00 \text{euro}. Quant hauríem pagat si no ens haguessin fet el descompte ?. [En aquest problema no considerarem l'I.V.A.]

Anomenem $x$ a la quantitat a pagar si l'article no estigués rebaixat. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{44,00}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{44,00 \cdot 100}{88} = 50 \; \text{euro}$
$\square$

3. Un article ens costa $83,40 \; \text{euro}$ [l'I.V.A., del $18$%, ja és inclòs al preu ]. Quin és el preu nominal de l'article ?.

Anomenem $x$ al preu nominal de l'article. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{83,40}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{83,40 \cdot 100}{118} \approx 70,68 \; \text{euro}$
$\square$

4. El preu nominal d'un article és de $24,50 \; \text{euro}$. Ens fan un descompte del $5$%. Per altra banda, l'I.V.A. és del $18$%. Quina quantitat haurem de pagar ?.

Cal resoldre el problema en dos passos. Aplicarem el descompte (o bé - si ho preferim - primer, l'I.V.A.) i, a la quantitat que obtinguem d'aquest primer pas, li aplicarem l'I.V.A. (o el descompte, si hem començat aplicant l'I.V.A.) [ A classe, ja hem vist que el resultat final no depèn de l'odre amb què fem aquests passos ].

a) Anomenem $x$ a la quantitat a pagar fent el descompte. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{x}{24,50}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{24,50 \cdot 95}{100} = 23,275$ (posem aquesta quantitat en una memòria de la calculadora científica, ja que ens queda encara un pas per acabar el càlcul)

b) Anomenem $y$ a la quantitat que resulta de carregar l'I.V.A. al resultat del 1r pas i plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{y}{23,275}$
Aïllant $y$ trobem
$y=\dfrac{24,50 \cdot 118}{100} = 27,46 \; \text{euro}$
$\square$

5. En unes rebaixes fan el $6$% de descompte. Hem comprat un article pel qual hem pagat $32,80 \; \text{euro}$ [l'I.V.A., del $18$%, ja hi és inclòs]. Quin és el preu nominal d'aquest article ?.

Cal resoldre el problema en dos passos. Deduirem el descompte (o bé, primer, l'I.V.A.) i a continuació, de la quantitat que obtinguem d'aquest primer pas, en deduirem l'I.V.A. (o el descompte, si primer hem deduït l'I.V.A.) [ A classe, ja hem vist que el resultat final no depèn de l'odre amb què fem aquests passos ].

a) Anomenem $x$ a la quantitat que obtenim deduint el descompte. Plantegem la proporció:
$\dfrac{100-6}{100}=\dfrac{32,80}{x}$
Aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{32,80 \cdot 100}{94} = 34,8936 \dots$ (posem aquesta quantitat en una memòria de la calculadora científica, ja que ens queda encara un pas per acabar el càlcul)

b) Anomenem $y$ a la quantitat que resulta de deduir l'I.V.A. del resultat obtingut al 1r pas i plantegem la proporció:
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{34,8936 \dots}{y}$
[Recordeu que al numerador del 2n membre de la igualtat hi posem la quantitat que havíem desat
a la memòria de la calculadora]
Aïllant $y$ trobem
$y=\dfrac{(34,8936 \dots) \cdot 100}{118} \approx 29,57 \; \text{euro}$
$\square$

6. Volem repartir $100,00 \; \text{euros}$ entre tres participants a una cursa de fons, de forma inversament proporcional als temps que han tardat a arribar: el corredor $A$ ha tardat 3 h i 35 min; el corredor $B$, 3 h i 25 min; i el corredor $C$,3 h i 45 min. Quina quantitat correspon a cada participant ?.

Anomenamrem $a$ a la quantitat que li correspon a $A$; b, al que li correspon a $B$, i $c$ a la quantitat que pertoca a $C$.

Primer de tot, expressarem les unitats en forma incomplexa per poder fer els càlculs còmodament:
El temps de $A$: 3 h i 35 min = 215 min
El temps de $B$: 3 h i 25 min = 205 min
El temps de $C$: 3 h i 45 min = 225 min

Cal tenir en compte que la quantitat que a un corredor li pertoca és inversament proporcional al temps que ha tardat en arribar; per això, escriurem
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=\dfrac{c}{\frac{1}{225}}$

I, per les propietats de les raons aritmètiques, s'haurà de complir que
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=\dfrac{c}{\frac{1}{225}}=\dfrac{a+b+c}{\frac{1}{215}+\frac{1}{205}+\frac{1}{225}}$

L'últim membre representa la constant de proporcionalitat $m$ i, com que, $a+b+c=100,00$, trobem que és igual a $7156,323291$, quantitat és recomanable que la deseu en una memòria de la calculadora científica (STO m) per fer còmodament els càlculs que segueixen de manera segura i còmoda, recuperant-la (RCL m) quan calgui fer-la servir.

Fet això, i per acabar, calcularem els valors de $a$, $b$ i $c$:
$\dfrac{a}{\frac{1}{215}}=m \Rightarrow a=\dfrac{m}{215} \approx 33,29 \, \text{euro}$

$\dfrac{b}{\frac{1}{205}}=m \Rightarrow b=\dfrac{m}{205} \approx 34,91 \, \text{euro}$

$\dfrac{c}{\frac{1}{215}}=m \Rightarrow c=\dfrac{m}{225} \approx 31,8\underline{0} \, \text{euro}$

Comprovació: $33,29+34,91+31,8\underline{0} = 100,00$
$\square$

7. Volem repartir $300,00 \; \text{euros}$ entre tres persones que han repartit formularis d'una enquesta, de forma directament proporcional al nombre de formularis que, cada u, hagi aportat. L'enquestador $A$ ha portat $42$ formularis; B, $25$; i $C$ n'ha portat $32$ . Quina quantitat correspon a cada enquestador ?.

Anomenamrem $a$ a la quantitat que li correspon a $A$; b, al que li correspon a $B$, i $c$ a la quantitat que pertoca a $C$.

Per les propietats de les raons s'haurà de complir que
$\dfrac{a}{42}=\dfrac{b}{25}=\dfrac{c}{32}=\dfrac{a+b+c}{42+25+32}$

L'últim membre representa la constant de proporcionalitat $m$ i, com que, $a+b+c=300,00$, trobem que , simplificat, és igual a
$\dfrac{100}{33}$

Aquesta quantitat és recomanable que la deseu en una memòria de la calculadora científica (STO m) per fer còmodament els càlculs que segueixen de manera segura i còmoda, recuperant-la (RCL m) quan calgui fer-la servir.

Fet això, i per acabar, calcularem els valors de $a$, $b$ i $c$:
$\dfrac{a}{42}=m \Rightarrow a=42\,m \approx 127,27 \, \text{euro}$

$\dfrac{b}{25}=m \Rightarrow b=25\,m \approx 75,76 \, \text{euro}$

$\dfrac{c}{32}=m \Rightarrow c=32\,m \approx 96,97 \, \text{euro}$

Comprovació: $127,27+75,76+96,97 = 300,00$
$\square$

8. Un excursionista tarda 3 h i 35 min per anar de casa seva a un refugi, caminant a una velocitat constant de $4$ km/h . Si, per fer el mateix trajecte, caminés a $5$ km/h, quant de temps tardaria ?

Tinguem en compte que les dues magnituds relacionades en aquest problema són inversament proporcionals l'una respecte de l'altra. Anomenarem $t$ al temps que volem calcular, i expressarem la quantitat de temps que ens donen com a dada en forma incomplexa ( 3 h i 35 min = 215 min ).

Plantegem la proporció (inversa):
$\dfrac{215}{\frac{1}{4}}=\dfrac{t}{\frac{1}{5}}$
Aïllant la incògnita $t$ trobem
$t=\dfrac{215 \cdot \frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}=172 \; \text{min}$
és a dir
2 h i 52 min
$\square$

[nota del autor]