Un problema de cálculo con fracciones

ENUNCIADO. En la fiesta del vals, ahora, una tecera parte de los chicos están bailando con dos quintas partes de las chicas ( NOTA 1: definimos aquí una pareja de baila como aquella formado por un chico y una chica ). ¿ Qué fracción de personas no está bailando ? ( NOTA 2: Se supone que la mitad de los asistentes a la fiesta del vals son chicas y la otra mitad, chicos ).

SOLUCIÓN. Denotemos por $m$ el número de chicas que asisten a la fiesta, y, por $h$, al nombre de chicos que asisten a la fiesta. Según el enunciado, podemos plantear la siguiente igualdad ( que representa la mitad del número de personas que están bailando ): $$\dfrac{1}{3}\,h = \dfrac{2}{5}\,m \quad \quad (1)$$ por consiguiente, el número de personas que están bailando ( cada pareja de baile está formada por dos personas ) es igual a $2\cdot \dfrac{2}{5}\,m$ ( o lo que es lo mismo, $2\cdot \dfrac{1}{3}\,h$ )
De (1) se deduce que $$h=\dfrac{6}{5}\,m$$ Así que el número de personas que asisten a la fiesta es $$m+\dfrac{6}{5}\,m$$ es decir $$\dfrac{11}{5}\,m$$ y, por tanto, el número de personas que están bailando con respecto del total ( fracción de personas que están bailando ) es igual a $$\dfrac{2\cdot (2/5)\,m}{(11/5)\,m}$$ es decir $$\dfrac{4}{11}\,\text{partes del total de asistentes}$$
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Fracciones

ENUNCIADO. En la primera etapa de una excursión, Marta ha recorrido dos terceras partes del trayecto y en la segunda etapa una cuarta parte del resto. Para terminar la excursión aún le faltan $5$ kilómetros. ¿ Cuál es la longitud total del trayecto ?.

SOLUCIÓN. La fracción de trayecto recorrido es $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot ( 1-\dfrac{2}{3})$, esto es, $\dfrac{3}{4}$; así pues, los $5$ kilómetros que aún le falta por recorrer representan $1-\dfrac{3}{4}$ partes del total, es decir, $\dfrac{1}{4}$ partes del mismo. Por consiguiente, denotando por $x$ la longitud total del trayecto, podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{4}{1}=\dfrac{x}{5}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=4\cdot 5=20\,\text{kilómetros}$$
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Ejercicio de operaciones combinadas con fracciones

Enunciado:
Operar:
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot \dfrac{60}{5}$

Solución:
Primero, simplificamos las fracciones reducibles
    $\dfrac{60}{5}=12$
con lo cual la expresión a calcular puede escribirse así
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
A continuación, respetando la prioridad de les operaciones, procedemos a realizar las que quedan dentro del paréntesis, por tanto efectuamos, en primer lugar, la división
    $\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot \text{inv}\big(\dfrac{3}{4}\big)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}=\dfrac{1\cdot 4}{2 \cdot 3}=\dfrac{4}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=2 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
Poniendo este resultado en la línea principal del cálculo, podemos escribir
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
        $=\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
A continuación, seguimos haciendo las operaciones del paréntesis, que son sumas y restas, para lo cual reducimos a común denominador ( $ \text{m.c.m}(12,30,3)=60$ ) y llegamos a
      $\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}$
        $=\dfrac{5 \cdot (60 \div 12)}{60}-\dfrac{7 \cdot (60 \div 30) }{30}+\dfrac{1 \cdot ( 60 \div 2)}{2}$
        $=\dfrac{25}{60}-\dfrac{14}{60}+\dfrac{40}{60}$
        $=\dfrac{25-14+40}{60}$
        $=\dfrac{51}{60}$
        $=\dfrac{17}{30}$
Y escribiendo ésto en la línea principal del cálculo,
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
        $=\dfrac{17}{20}\cdot 12$
        $=17\cdot \dfrac{12}{20}$
        $=17\cdot \dfrac{3}{5}$
        $=\dfrac{51}{5}$
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[nota del autor]