Ejercicios varios de cálculo con fracciones

ENUNCIADO. Calcular sin emplear la calculadora:
a) $\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}$
b) $\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5$
c) $\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}$
d) $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$

SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}=$
  $=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{9}$
    $=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$
      $\overset{\text{m.c.m.(2,3)=6}}{=}\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}$
              $=\dfrac{3+2}{6}$
                $=\dfrac{5}{6}$

b)
$\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5=$
  $\overset{\text{m.c.m.(5,6)=30}}{=}\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24}{30}-\dfrac{35}{30}\right)+5$
          $=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24-35}{30}\right)+5$
            $=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
              $=\dfrac{1}{3}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
                $=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{-30}{11}\right)+5$
                  $=\dfrac{-10}{11}+5$
                    $=\dfrac{-10}{11}+\dfrac{55}{11}$
                      $=\dfrac{-10+55}{11}$
                        $=\dfrac{45}{11}$

c)
$\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}=$
  $=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{3}{2}\right)$
    $=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{2}{3}$
      $=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 2}{6 \cdot 3}$
        $=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 1}{3 \cdot 3}$
          $=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{9}$
            $=\dfrac{2-5}{9}$
              $=\dfrac{-3}{9}$
                $=\dfrac{-1}{3}$
                  $=-\dfrac{1}{3}$

d)
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}=$
  $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\right)$
    $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1\cdot 3}\right)$
      $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)^{-1}\right)$
        $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\text{inverso}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)\right)$
          $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)$
            $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)^{-1}$
              $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3}$
                $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2-3}$
                  $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}$
                    $=\text{inveso}\left(\dfrac{3}{2}\right)$
                      $=\dfrac{2}{3}$

NOTA: Como casi todos los ejercicios de cálculo, éste puede desarrollarse de otras formas ( respetando, claro está, las propiedades ); en este caso, estos procedimientos alternativos pasan por desarrollar las potencias de los denominadores y numeradores en los primeros pasos. Naturalmente, se llega al mismo resultado.
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Un problema en el que se aplican las fracciones

ENUNCIADO. Juan ha gastado $\dfrac{2}{5}$ partes de su paga en adquirir unas entradas para un concierto y $\dfrac{3}{4}$ del resto en comprarse ropa de deporte. Sabiendo que le quedan $27$ euros, calcula el importe de la paga de Juan.

SOLUCIÓN.
La parte del total que ha gastado es $$\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{4}\cdot (1-\dfrac{2}{5})=\dfrac{17}{20}$$ luego la parte ( del total ) que le quedado es $$1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}$$ Denotando por $x$ la cantidad total ( la paga ) podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{20}{3}=\dfrac{x}{27}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{20\cdot 27}{3}=180\,\text{euros}$$
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Calcular ...

ENUNCIADO. Realizar las siguientes operaciones con fracciones ( las simplificaciones son obligatorias ):
a) $\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{12}$
b) $\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{25}{8}$
c) $\dfrac{3}{4}\div \dfrac{9}{2}$
d) $\left(1-\dfrac{5}{2}\right)^3$

SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{12}=$

  $\overset{\text{m.c.m}(3,18,12)=36}{=} \quad \quad \dfrac{2 \cdot 36 \div 3}{36}+\dfrac{5 \cdot 36 \div 18}{36}+\dfrac{(-1) \cdot 36 \div 12 }{36}$

        $=\dfrac{24}{36}+\dfrac{10}{36}+\dfrac{(-3)}{36}$

          $=\dfrac{24+10+(-3)}{36}$

            $=\dfrac{31}{36}$


b)

$\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{25}{8}$

  $=\dfrac{4 \cdot 25}{5 \cdot 8}$

    $=\dfrac{25 \cdot 4}{5 \cdot 8}$

      $=\dfrac{25}{5} \cdot \dfrac{4}{8}$

        $=5 \cdot \dfrac{1}{2}$

          $=\dfrac{5}{2}$


c)

$\dfrac{3}{4}\div \dfrac{9}{2}$

  $=\dfrac{3}{4}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{9}{2} \right)$

    $=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{2}{9}$

      $=\dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

        $=\dfrac{2 \cdot 3}{4 \cdot 9}$

          $=\dfrac{2}{4}\cdot \dfrac{3}{9}$

            $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}$

              $=\dfrac{1 \cdot 1 }{2 \cdot 3}$

                $=\dfrac{1 }{6}$


d)

$\left(1-\dfrac{5}{2}\right)^3$

  $=\left(\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2}\right)^3$

    $=\left(\dfrac{2}{2}+\dfrac{(-5)}{2}\right)^3$

      $=\left(\dfrac{2+(-5)}{2}\right)^3$

        $=\left(\dfrac{(-3)}{2}\right)^3$

          $=\dfrac{(-3)^3}{2^3}$

            $=\dfrac{(-27)}{8}$

              $=-\dfrac{27}{8}$

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