Ejercicios varios de cálculo con fracciones

ENUNCIADO. Calcular sin emplear la calculadora:
a) $\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}$
b) $\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5$
c) $\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}$
d) $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$

SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}=$
  $=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{9}$
    $=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$
      $\overset{\text{m.c.m.(2,3)=6}}{=}\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}$
              $=\dfrac{3+2}{6}$
                $=\dfrac{5}{6}$

b)
$\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5=$
  $\overset{\text{m.c.m.(5,6)=30}}{=}\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24}{30}-\dfrac{35}{30}\right)+5$
          $=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24-35}{30}\right)+5$
            $=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
              $=\dfrac{1}{3}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
                $=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{-30}{11}\right)+5$
                  $=\dfrac{-10}{11}+5$
                    $=\dfrac{-10}{11}+\dfrac{55}{11}$
                      $=\dfrac{-10+55}{11}$
                        $=\dfrac{45}{11}$

c)
$\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}=$
  $=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{3}{2}\right)$
    $=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{2}{3}$
      $=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 2}{6 \cdot 3}$
        $=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 1}{3 \cdot 3}$
          $=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{9}$
            $=\dfrac{2-5}{9}$
              $=\dfrac{-3}{9}$
                $=\dfrac{-1}{3}$
                  $=-\dfrac{1}{3}$

d)
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}=$
  $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\right)$
    $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1\cdot 3}\right)$
      $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)^{-1}\right)$
        $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\text{inverso}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)\right)$
          $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)$
            $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)^{-1}$
              $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3}$
                $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2-3}$
                  $=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}$
                    $=\text{inveso}\left(\dfrac{3}{2}\right)$
                      $=\dfrac{2}{3}$

NOTA: Como casi todos los ejercicios de cálculo, éste puede desarrollarse de otras formas ( respetando, claro está, las propiedades ); en este caso, estos procedimientos alternativos pasan por desarrollar las potencias de los denominadores y numeradores en los primeros pasos. Naturalmente, se llega al mismo resultado.
$\square$