Aproximaciones y errores

ENUNCIADO. El número de localidades ocupadas en un partido de fútbol fue de $24\,875$. Desde las gradas, un asistente estimó en $25\,000$ el número de espectadores. Se pide:
a) El error absoluto de dicha estimación
b) El error relativo, expresado en tanto por ciento
c) ¿ Cuántas cifras significativas tiene la cantidad aproximada ? ¿ Son todas ellas correctas ?

SOLUCIÓN.
a) La cantidad que aproxima a $x=24\,875$ es $\bar{x}=25\,000$, entonces el error absoluto es $$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x}\right|=\left|24\,875-25\,000\right|=125$$

b) Veamos ahora el error relativo, $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{125}{24\,875}\approx 0,005=0,5\,\%$$

c) Las cinco cifras de la cantidad exacta son, obviamente, significativas. Ahora bien, no todas las cifras de la cantidad aproximada son significativas, pues la persona que ha hecho la estimación ( del número de asistentes ) desde las gradas ha hecho un recuento que, claramente, no es exacto; basta con que reparemos en los tres ceros finales de dicha cantidad estimada o aproximada, lo cual indica que la estimación sólo se ha ajustado hasta las unidades de millar. Así pues, las cifras significativas de la cantidad aproximada $\mathbb{25}\,000$ son el '$2$' de las decenas de millar y el '$5$' de las unidades de millar -- en general los ceros a la derecha, no se consideran cifras significativas --, por tanto podemos decir que la cantidad aproximada tiene dos cifras significativas.

Veamos ahora si estas dos cifras significativas son correctas. Examinemos la cifra de las unidades de millar. Para que sea correcta, el error absoluto debe ser menor que media unidad del orden de magnitud que corresponde a dicha cifra, $$ E \overset{\text{?}}{<} \dfrac{1}{2}\cdot 10^3=500$$ y en efecto, así es, $125 \prec 500$, luego al ser correcta la cifra significativa que expresa el menor orden de magnitud, también lo son las que expresan órdenes de magnitud mayores; es decir, lo son las dos: el '$2$' y el '$5$'

NOTA. Al no ser significativas las cifras '$0$' a la derecha de la cifra de las unidades de millar, éstas son -- por supuesto -- dudosas ( no son correctas ). Es fácil comprobarlo. En efecto, el '$0$' que corresponde al orden de las centenas no lo es, pues incumple el criterio que hemos utilizado arriba $$125 \succ \dfrac{1}{2}\cdot 10^2=50$$ Por tanto, y con mayor razón, los otros dos '$0$s' ( el de las decenas y el de las unidades ) no pueden ser tampoco cifras correctas.
$\square$