ENUNCIADO. Se ha aproximado el número $4235$ por $4200$. Se pide:
a) El error absoluto
b) El error relativo
SOLUCIÓN. Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$. Entonces, teniendo en cuenta que $x=4235$ y que $\bar{x}=4200$, tenemos que:
a) $E=\left|4235-4200\right|=35$
b) $e=\dfrac{35}{4235}\approx 0,008=0,8\,\%$
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lunes, 26 de junio de 2017
lunes, 16 de enero de 2017
Comparando aproximaciones de varias cantidades según sus respectivas precisiones
ENUNCIADO. Se aproxima el número $16\,358$ por $16\,000$; y el número $1\,210$ por el número $1\,000$. Calcular el error absoluto y el error relativo de ambas aproximaciones. Decir razonadamente cuál de las dos aproximaciones es más precisa.
SOLUCIÓN.
Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$
En la aproximación de la primera cantidad, resulta $E_1=\left|16\,358-16\,000\right|=358$ y por tanto $e_1=\dfrac{358}{16\,358}\approx 0,02$. Y en la segunda aproximación tenemos que $E_2=\left|1\,210-1\,000\right|=210$ y por tanto $e_1=\dfrac{210}{1\,210}\approx 0,17$
Entonces, como $e_1 \prec e_2$, resulta que la aproximación más precisa es la primera.
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SOLUCIÓN.
Recordemos que el error absoluto en una aproximación de $x$ por $\bar{x}$ viene dado por $E=\left|x-\bar{x}\right|$ y que el error relativo se define de la forma $e=\dfrac{E}{\left|x\right|}$
En la aproximación de la primera cantidad, resulta $E_1=\left|16\,358-16\,000\right|=358$ y por tanto $e_1=\dfrac{358}{16\,358}\approx 0,02$. Y en la segunda aproximación tenemos que $E_2=\left|1\,210-1\,000\right|=210$ y por tanto $e_1=\dfrac{210}{1\,210}\approx 0,17$
Entonces, como $e_1 \prec e_2$, resulta que la aproximación más precisa es la primera.
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domingo, 23 de octubre de 2016
Aproximaciones y errores
ENUNCIADO. El número de localidades ocupadas en un partido de fútbol fue de $24\,875$. Desde las gradas, un asistente estimó en $25\,000$ el número de espectadores. Se pide:
a) El error absoluto de dicha estimación
b) El error relativo, expresado en tanto por ciento
c) ¿ Cuántas cifras significativas tiene la cantidad aproximada ? ¿ Son todas ellas correctas ?
SOLUCIÓN.
a) La cantidad que aproxima a $x=24\,875$ es $\bar{x}=25\,000$, entonces el error absoluto es $$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x}\right|=\left|24\,875-25\,000\right|=125$$
b) Veamos ahora el error relativo, $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{125}{24\,875}\approx 0,005=0,5\,\%$$
c) Las cinco cifras de la cantidad exacta son, obviamente, significativas. Ahora bien, no todas las cifras de la cantidad aproximada son significativas, pues la persona que ha hecho la estimación ( del número de asistentes ) desde las gradas ha hecho un recuento que, claramente, no es exacto; basta con que reparemos en los tres ceros finales de dicha cantidad estimada o aproximada, lo cual indica que la estimación sólo se ha ajustado hasta las unidades de millar. Así pues, las cifras significativas de la cantidad aproximada $\mathbb{25}\,000$ son el '$2$' de las decenas de millar y el '$5$' de las unidades de millar -- en general los ceros a la derecha, no se consideran cifras significativas --, por tanto podemos decir que la cantidad aproximada tiene dos cifras significativas.
Veamos ahora si estas dos cifras significativas son correctas. Examinemos la cifra de las unidades de millar. Para que sea correcta, el error absoluto debe ser menor que media unidad del orden de magnitud que corresponde a dicha cifra, $$ E \overset{\text{?}}{<} \dfrac{1}{2}\cdot 10^3=500$$ y en efecto, así es, $125 \prec 500$, luego al ser correcta la cifra significativa que expresa el menor orden de magnitud, también lo son las que expresan órdenes de magnitud mayores; es decir, lo son las dos: el '$2$' y el '$5$'
NOTA. Al no ser significativas las cifras '$0$' a la derecha de la cifra de las unidades de millar, éstas son -- por supuesto -- dudosas ( no son correctas ). Es fácil comprobarlo. En efecto, el '$0$' que corresponde al orden de las centenas no lo es, pues incumple el criterio que hemos utilizado arriba $$125 \succ \dfrac{1}{2}\cdot 10^2=50$$ Por tanto, y con mayor razón, los otros dos '$0$s' ( el de las decenas y el de las unidades ) no pueden ser tampoco cifras correctas.
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a) El error absoluto de dicha estimación
b) El error relativo, expresado en tanto por ciento
c) ¿ Cuántas cifras significativas tiene la cantidad aproximada ? ¿ Son todas ellas correctas ?
SOLUCIÓN.
a) La cantidad que aproxima a $x=24\,875$ es $\bar{x}=25\,000$, entonces el error absoluto es $$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x}\right|=\left|24\,875-25\,000\right|=125$$
b) Veamos ahora el error relativo, $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{125}{24\,875}\approx 0,005=0,5\,\%$$
c) Las cinco cifras de la cantidad exacta son, obviamente, significativas. Ahora bien, no todas las cifras de la cantidad aproximada son significativas, pues la persona que ha hecho la estimación ( del número de asistentes ) desde las gradas ha hecho un recuento que, claramente, no es exacto; basta con que reparemos en los tres ceros finales de dicha cantidad estimada o aproximada, lo cual indica que la estimación sólo se ha ajustado hasta las unidades de millar. Así pues, las cifras significativas de la cantidad aproximada $\mathbb{25}\,000$ son el '$2$' de las decenas de millar y el '$5$' de las unidades de millar -- en general los ceros a la derecha, no se consideran cifras significativas --, por tanto podemos decir que la cantidad aproximada tiene dos cifras significativas.
Veamos ahora si estas dos cifras significativas son correctas. Examinemos la cifra de las unidades de millar. Para que sea correcta, el error absoluto debe ser menor que media unidad del orden de magnitud que corresponde a dicha cifra, $$ E \overset{\text{?}}{<} \dfrac{1}{2}\cdot 10^3=500$$ y en efecto, así es, $125 \prec 500$, luego al ser correcta la cifra significativa que expresa el menor orden de magnitud, también lo son las que expresan órdenes de magnitud mayores; es decir, lo son las dos: el '$2$' y el '$5$'
NOTA. Al no ser significativas las cifras '$0$' a la derecha de la cifra de las unidades de millar, éstas son -- por supuesto -- dudosas ( no son correctas ). Es fácil comprobarlo. En efecto, el '$0$' que corresponde al orden de las centenas no lo es, pues incumple el criterio que hemos utilizado arriba $$125 \succ \dfrac{1}{2}\cdot 10^2=50$$ Por tanto, y con mayor razón, los otros dos '$0$s' ( el de las decenas y el de las unidades ) no pueden ser tampoco cifras correctas.
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martes, 19 de abril de 2016
Precisión en las mediciones
ENUNCIADO. Hemos medido la arista de un cubo de madera con un metro de carpintero, obteniendo como resultado $\bar{\ell}_1=42 \; \text{mm}$. A continuación, la hemos medido con un pie de rey ( o calibre ), obteniendo esta otro resultado: $\bar{\ell}_2=42,3 \; \text{mm}$. ¿ En cuál de los dos resultados ( de medida ) hay mayor precisión ?.
SOLUCIÓN. Para determinar cuál de las dos mediciones es la más precisa, debemos fijarnos en los errores relativos: cuánto menor sea el error relativo, más precisa será la medida. Aunque no podamos calcular los errores relativos de cada una de las mediciones ( pues no conocemos el valor ideal de la magnitud que medimos ), calcularemos unas cotas de error relativo y las compararemos; la menor de ellas es la que corresponde a la medición más precisa.
Para el metro de carpintero, podemos tomar como cota de error absoluto $\Delta_1=1\;\text{mm}$. Veamos, ahora, una cota razonable de error relativo para dicha medición de la medición efectuada. Como el error relativo es $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E_1}{\ell_1} < \dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ una cota del error relativo es $$\epsilon_1=\dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ Poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_1=\dfrac{1}{42-1}=\dfrac{1}{40}=0,025=2,5\,\%$$
Ahora, vamos a hacer lo mismo con la medición hecha con el pie de rey. Una cota de error absoluta viene dada por la unidad más pequeña del instrumento de medida, que es $0,05 \text{mm}$, luego $\Delta_2=0,05\;\text{mm}$. Así, razonando igual que antes, una cota razonable de error relativo para dicha medición es $$\epsilon_2=\dfrac{\Delta_2}{\bar{\ell}_2-\Delta_2}$$ y poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_2=\dfrac{0,05}{42,3-0,05}=\dfrac{0,05}{42,25}\overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,002=0,02\,\%$$
Como $\epsilon_2=0,02\,\% < \epsilon_1=2,5\,\%$, deducimos que la medición más precisa es la segunda ( la efectuada con el pie de rey ), cosa que, por otra parte, ya lo intuíamos, si bien ahora lo hemos demostrado. $\square$
SOLUCIÓN. Para determinar cuál de las dos mediciones es la más precisa, debemos fijarnos en los errores relativos: cuánto menor sea el error relativo, más precisa será la medida. Aunque no podamos calcular los errores relativos de cada una de las mediciones ( pues no conocemos el valor ideal de la magnitud que medimos ), calcularemos unas cotas de error relativo y las compararemos; la menor de ellas es la que corresponde a la medición más precisa.
Para el metro de carpintero, podemos tomar como cota de error absoluto $\Delta_1=1\;\text{mm}$. Veamos, ahora, una cota razonable de error relativo para dicha medición de la medición efectuada. Como el error relativo es $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E_1}{\ell_1} < \dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ una cota del error relativo es $$\epsilon_1=\dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ Poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_1=\dfrac{1}{42-1}=\dfrac{1}{40}=0,025=2,5\,\%$$
Ahora, vamos a hacer lo mismo con la medición hecha con el pie de rey. Una cota de error absoluta viene dada por la unidad más pequeña del instrumento de medida, que es $0,05 \text{mm}$, luego $\Delta_2=0,05\;\text{mm}$. Así, razonando igual que antes, una cota razonable de error relativo para dicha medición es $$\epsilon_2=\dfrac{\Delta_2}{\bar{\ell}_2-\Delta_2}$$ y poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_2=\dfrac{0,05}{42,3-0,05}=\dfrac{0,05}{42,25}\overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,002=0,02\,\%$$
Como $\epsilon_2=0,02\,\% < \epsilon_1=2,5\,\%$, deducimos que la medición más precisa es la segunda ( la efectuada con el pie de rey ), cosa que, por otra parte, ya lo intuíamos, si bien ahora lo hemos demostrado. $\square$
viernes, 18 de septiembre de 2015
Se ha realizado la medida de ...
ENUNCIADO:
Se ha realizado una medida de la longitud de un tablón, $x$, obteniendo $\bar{x}=42,3 \, \text{cm}$, con una cota de error absoluto de $0,2 \, \text{cm}$. ¿ Cuál es el intervalo de error ( incertidumbre ) para el valor de dicha magnitud ?
SOLUCIÓN:
Podemos afirmar que $x=42,3 \, \text{cm} \; \pm \, 0,2 \; \text{cm}$, luego el intervalo de error es $I_x=(43,2-0,2\,,\,42,3+0,2) \; \text{cm}$, esto es, $I_x=(42,0\,,\,42,5) \; \text{cm}$ siendo el centro de dicho intervalo el valor tomado en el proceso de medida: $\bar{x}=42,3 \, \text{cm}$ y estando el valor real de la medida en algún punto de dicho intervalo.
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Se ha realizado una medida de la longitud de un tablón, $x$, obteniendo $\bar{x}=42,3 \, \text{cm}$, con una cota de error absoluto de $0,2 \, \text{cm}$. ¿ Cuál es el intervalo de error ( incertidumbre ) para el valor de dicha magnitud ?
SOLUCIÓN:
Podemos afirmar que $x=42,3 \, \text{cm} \; \pm \, 0,2 \; \text{cm}$, luego el intervalo de error es $I_x=(43,2-0,2\,,\,42,3+0,2) \; \text{cm}$, esto es, $I_x=(42,0\,,\,42,5) \; \text{cm}$ siendo el centro de dicho intervalo el valor tomado en el proceso de medida: $\bar{x}=42,3 \, \text{cm}$ y estando el valor real de la medida en algún punto de dicho intervalo.
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