Precisión en las mediciones

ENUNCIADO. Hemos medido la arista de un cubo de madera con un metro de carpintero, obteniendo como resultado $\bar{\ell}_1=42 \; \text{mm}$. A continuación, la hemos medido con un pie de rey ( o calibre ), obteniendo esta otro resultado: $\bar{\ell}_2=42,3 \; \text{mm}$. ¿ En cuál de los dos resultados ( de medida ) hay mayor precisión ?.

SOLUCIÓN. Para determinar cuál de las dos mediciones es la más precisa, debemos fijarnos en los errores relativos: cuánto menor sea el error relativo, más precisa será la medida. Aunque no podamos calcular los errores relativos de cada una de las mediciones ( pues no conocemos el valor ideal de la magnitud que medimos ), calcularemos unas cotas de error relativo y las compararemos; la menor de ellas es la que corresponde a la medición más precisa.

Para el metro de carpintero, podemos tomar como cota de error absoluto $\Delta_1=1\;\text{mm}$. Veamos, ahora, una cota razonable de error relativo para dicha medición de la medición efectuada. Como el error relativo es $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E_1}{\ell_1} < \dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ una cota del error relativo es $$\epsilon_1=\dfrac{\Delta_1}{\bar{\ell}_1-\Delta_1}$$ Poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_1=\dfrac{1}{42-1}=\dfrac{1}{40}=0,025=2,5\,\%$$

Ahora, vamos a hacer lo mismo con la medición hecha con el pie de rey. Una cota de error absoluta viene dada por la unidad más pequeña del instrumento de medida, que es $0,05 \text{mm}$, luego $\Delta_2=0,05\;\text{mm}$. Así, razonando igual que antes, una cota razonable de error relativo para dicha medición es $$\epsilon_2=\dfrac{\Delta_2}{\bar{\ell}_2-\Delta_2}$$ y poniendo los datos, encontramos $$\epsilon_2=\dfrac{0,05}{42,3-0,05}=\dfrac{0,05}{42,25}\overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,002=0,02\,\%$$

Como $\epsilon_2=0,02\,\% < \epsilon_1=2,5\,\%$, deducimos que la medición más precisa es la segunda ( la efectuada con el pie de rey ), cosa que, por otra parte, ya lo intuíamos, si bien ahora lo hemos demostrado. $\square$