Homotecias: razón de las áreas y razón de los perímetros ...

ENUNCIADO. Hemos hecho una fotocopia ampliada de un cuadrado de $4\,\text{cm}^2$ de área, con un factor de ampliación del $150\,\%$ ( razón de homotecia igual a $1,5$ ). Se pide:
a) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado original ?
b) ¿ Cuánto mide el perímetro del cuadrado ampliado ?
c) ¿ Cuál es el valor de la razón aritmética entre el área del cuadrado ampliado y el área del cuadrado original ?
d) ¿ Cuánto mide el área del cuadrado ampliado

SOLUCIÓN.

a)
Llamemos $x$ al lado del cuadrado original, entonces el área es $x^2=4$, luego la longitud del lado es $x=\sqrt{4}=2\;\text{cm}$. Y, por tanto, el perímetro ( suma de las longitudes de los cuatro lados, que son iguales ) es $P=4\cdot 2 = 8\;\text{cm}$

b)
La razón aritmética entre el perímetro del cuadrado ampliado, $P'$, y el perímetro del cuadrado original, $P$, es igual a la razón de semejanza ( factor de ampliación ) entre los dos cuadrados, que es $r=1,5$, es decir, $$\dfrac{P'}{8}=1,5$$ por tanto $$P'=1,5 \cdot 8 = 12\; \text{cm}$$

c)
La razón aritmética entre las áreas, $\dfrac{A'}{A}$ ( siendo $A'$ el área del cuadrado ampliado y $A$ el área del cuadrado original ) es igual a la razón de semejanza al cuadrado $$\dfrac{A'}{A}=r^2$$ y como $r=1,5$, la razón pedida, $\dfrac{A'}{A}$, es igual a $1,5^2=2,25$

d)
El área del cuadrado ampliado es, por consiguiente, $A'=A\,r^2$, esto es $$A'=4 \cdot 2,25 = 9\;\text{cm}^2$$

$\square$