Contando estrellas: una estimación del número de estrellas visibles (observables a simple vista) en la totalidad de la cúpula celeste

Imaginémonos contemplando el cielo estrellado, totalmente despejado de nubes, en una noche sin luna, lejos de la contaminación lumínica de las ciudades. ¿Cómo podemos contar el número de estrellas visibles en estas condiciones?

Un sencillo método que encontré en un libro de divulgación astronómica (Atlas básico de astronomía, Parramón Ediciones, Barcelona, 2001) para obtener una estimación de dicha cantidad consiste en dibujar una circunferéncia de $6\,\text{cm}$ de radio en una trozo de cartulina negra, y recortarla con cuidado, con ayuda de un cúter, para observar el cielo através de dicho agujero; para ello, lo colocaremos a una distancia de nuestro ojos de $30\,\text{cm}$, para lo cual nos ayudaremos de un hilito de esa longitud atado con un nudito de gaza al reverso de la cartulina (la opuesta a la que enfretamos a nuestros ojos) y lo mantendremos tenso mientras observemos. Así podremos contar el número de estrellas que quedan dentro del círculo, observando el cielo en una dirección arbitraria; pues bien, al parecer, dicha cantidad de estrellas representa aproximadamente el $1\,\%$ de las estrellas visibles a simple vista en la totalidad de la esfere celeste —¿te animas a justificar esta afirmación mediante razonamientos geométricos?—. Si repetimos la observación observando hacia $10$ regiones distintas del cielo y sumamos las estrellas contabilidazadas cada una de las veces obtendremos por tanto el $10\,\%$ de las estrellas visibles a simple vista de la totalidad de la esfera celeste, aproximadamente. Finalmente, bastará multiplicar dicha cantidad por $10$ para estimar el $100\,\%$ de las estrellas, esto es, la totalidad de las estrellas visibles a simple vista. Si eres una persona curiosa, te propongo que pongas en práctica este sencillo experimento de recuento. $\diamond$