La proporcionalidad inversa en problemas habituales

Enunciat Dotze persones volen fer una excursió. Han previst 1000 g d'un determinat aliment per cap. A l'últim moment, però, només són vuit. I, com que ja han comprat les coses, volen saber quina quantitat Q correspon a cada persona, ara. Resolució     Mètode elemental: Una resolució molt senzilla i eficaç és la següent. Com que quatre persones s'han retirat i ja no van d'execursió, hi han 4000 g més d'aquest aliment a repartir entre les vuit persones que sí que hi van; això fa que cada una d'elles disposi de 4000:8 = 500 g d'aquest aliment més. És a dir, a cadascuna de les vuit persones els correspon 1000 + 500 = 1500 g. Això és el que, possiblement faria un alumne de 1r d'ESO. Ara bé, quan plantejo el problema als alumnes de 3r curs, a més a més d'aquesta resolució, els demano que pensin en un altra on aparegui d'una manera clara la relació de proporcionalitat inversa entre el nombre de persones i la quantitat que els correspon.     Mètode interessant La quantitat Q és inversament proporcional al nombre de persones N; llavors, podem dir que Q és directament proporcional a 1/N. Si anomenem C a la constant de proporcionalitat podem escriure que Q = C/N i, per tant, Q.N=C. És a dir, la quantitat Q.N pren el mateix valor tant en la situació inicial (quan eren dotze: Q1N1), com ara, que són vuit: Q2N2. Tenint en compte que Q1=1000 g, N1=12, i N2=8, tenim que Q1N1 = Q2N2 I amb els valors donats: 1000(12)=8.Q2 D'aquí trobem que Q2 = 1000.(12/8) = 1500 g/persona Hi han molts exemples de magnituds en relació de proporcionalitat inversa en el món que ens envolta. Exposaré a continuació uns quants exemples sobre això que exposo com analogies al problema sezill del repartiment del qual he parlat al començament 1. Una analogia: la llei física de Boyle-Mariotte sobre els gasos ideals font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Ley_de_Boyle_Mariotte.png En Física, trobem moltes lleis de proporcionalitat inversa. Per exemple, la llei de Boyle-Mariotte (sobre els gasos ideals) - que ve a dir que, a temperatura constant, el volum V que ocupa un gas ideal és inversament proporcional a la pressió P a la qual es sotmés - segueix el mateix patró matemàtic que el problema exposat: PV = k, on k és la constant de proporcionalitat. Per tant, donades dues situacions P1V1 i P1V1, podrem treballar plantejant la igualtat P1V1 = P2V2 2. Una altra analogia: la relació de proporcionalitat inversa entre el nombre de dents i la velocitat angular de dues rodes engranades font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Gears_animation.gif El nombre de dents z d'una roda engranada a una altra que li transmet el moviment és inversament proporcional a la velocitat angular w, de tal manera que obtenim una fórmula similar: z1.w1 = z2.w2 3 Més encara ... La premsa hidràulica Es tracta d'una aplicació del principi de Pascal (la pressió es transmet per igual a tots els punts d'un fluïd incompressible). F2.S2 = F3.S3 Si sobre l'èmbol (2) exercim una força F2 sobre (3) actuarà una força S3/S2 vegades més gran que la primera (S3 > S2 ). Així podem aixecar cossos pensants fent tan sols una part de la força que representa el seu pes. 3. I encara més ... les palanques Succeeix quelcom semblant, per exemple, amb una palanca de primer gènere: font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/LeverPrincleple.svg/500px-LeverPrincleple.svg.png F1.D1 = F2.D2 Naturalment, també es compleix la relació inversa entre la força i el braç amb les palanques de 2n i 3r gènere. Fixeu-vos en la de segon gènere (un carretó): font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Brouette_equilibre.jpg/350px-Brouette_equilibre.jpg F.b = P.a