Diez máquinas produces diez piezas en diez minutos. ¿ En cuánto tiempo produce una pieza una sóla máquina ?

ENUNCIADO. Diez máquinas produces diez piezas en diez minutos. ¿ En cuánto tiempo produce una pieza una sóla máquina ?


SOLUCIÓN.
Planteemos el problema medianate una proporción compuesta entre las magnitudes: número de piezas producidadas, tiemplo empleado ( en minutos ), y número de máquinas

+ ================================================================+
   | tiempo ( min )    | número de máquinas      | número de piezas  | 
   + ================================================================+
   |         10        |           10            |         10       |
   +-----------------------------------------------------------------+
   |         t         |            1            |          1        |
   + ================================================================+

La relación entre el número de máquinas y el tiempo empleado es inversa ( cuántos más máquinas, menos tiempo se tarda en producir un cierto número de piezas ) y la relación entre el número de piezas fabricado y el tiempo empleado es directa ( a más piezas fabricadas más tiempo se necesitará para fabricarlas ), entonces:
$$\dfrac{t}{10}=\dfrac{1/1}{1/10}\cdot \dfrac{1}{10} \Rightarrow t=10\cdot \dfrac{10}{10}\,\text{minutos}=10\,\text{minutos}$$
$\square$

Transimisión del movimiento de giro entre dos ruendas dentadas

ENUNCIADO. Se consideran dos ruedas dentadas, A y B, que están engranadas. La rueda A tiene 40 dientes y da 12 vueltas cada 5/2 minutos. ¿Cuántas vueltas da la rueda B en 7 minutos, teniendo ésta 60 dientes?

SOLUCIÓN.
I)
Planteemos el problema medianate una proporción compuesta entre las magnitudes: número de vueltas, tiemplo empleado ( en minutos ), número de dientes

| ================================================================
   | número de vueltas | tiempo empleado ( min ) | número de dientes | 
===| ================================================================
A  |         12        |           5/2           |         40        |
---|-----------------------------------------------------------------
B  |         n         |            7            |         60        |
===| ================================================================

La relación entre el número de dientes y el número de vueltas es inversa ( cuántos más dientes, menos vueltas da ) y la relación entre el tiempo empleado y el número de vueltas es directa ( cuánto más tiempo esté girando más vueltas da ), entonces:
$\dfrac{n}{12}=\dfrac{7}{5/2}\cdot \dfrac{1/60}{1/40} \Rightarrow n=\dfrac{12 \cdot 2\cdot 7 \cdot 40}{5 \cdot 60}=\dfrac{112}{5}=22+\dfrac{1}{5}$ vueltas ( 22 vueltas completas y 1/5 de vuelta )

-oOo-II)
Otra manera de plantear el problema consiste en establecer una proporción simple entre el número de dientes y la velocidad de giro ( vueltas/minuto ), la cual es inversa, pues a mayor número de dientes, menos velocidad de giro. La velocidad de giro de la rueda A es $\dfrac{12}{5/2}$ vueltas/minuto, y, la de B, $\dfrac{n}{7}$ vueltas/minuto. Así:

| ====================================================
   | número de dientes | velocidad de giro ( vueltas/min)|  
===| ====================================================
A  |         40        |           12/(5/2)              |
---|------------------------------------------------------
B  |         60         |            n/7                 |
===| =====================================================

Así, al ser dicha relación inversa, escribiremos:
$\dfrac{n/7}{12/(5/2)}=\dfrac{1/60}{1/40} \Rightarrow \dfrac{5n}{12\cdot 2 \cdot 7}=\dfrac{40}{60} \Rightarrow n=\dfrac{2\cdot 12\cdot 2 \cdot 7}{3 \cdot 5}=\dfrac{112}{5}=22+\dfrac{1}{5}$ vueltas ( 22 vueltas completas y 1/5 de vuelta )

-oOo-
NOTA: La razón entre la velocidad de giro de la rueda a la que se transmite el movimiento y la velocidad de giro de la rueda motriz, $\dfrac{\omega_{\text{transmitida}}}{\omega_{\text{motriz}}}$, se denomina relación de transmisión. Y teniendo en cuenta que, por la proporción inversa que liga la magnitud velocidad de giro con la magnitud número de dientes, podemos escribir: $$\text{relación de transmisión}=\dfrac{\omega_{\text{transmitida}}}{\omega_{\text{motriz}}}=\dfrac{z_{\text{motriz}}}{z_\text{trnsmitida}}$$, que, en el problema que nos ocupa, tiene el siguiente valor:
relación de transmisión=$\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}$, lo cual puede indicarse también de la forma: $$\text{relación de transmisión}=2:3$$ lo cual quiere decir que por cada $3$ vueltas que da la rueda motriz, la rueda transmitida da $2$ vueltas.
$\square$

Repartir de forma inversamente proporcional ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En un testament s'estableix que es reparteixi la quantitat de $359\,568 \; \text{\euro}$ entre tres persones en parts inversament proporcionals al sou mensual de cadascuna. Calculeu quant correspon a cada hereu sabent que: a) el sou més baix és dues terceres parts de la mitjana aritmètica dels tres sous, i, b) la mitjana aritmètica és igual a tres quartes parts del sou més alt.

Solució:
Anomenem $s_1$, $s_2$ i $s_3$ als sous respectius ( i considerem que $s_1 \prec s_2 \prec s_3$, que no afectarà al resultat ), i, $x_1$, $x_2$, $x_3$, a les quantitats que han de percebre els hereus.
Llavors, si el repartiment és inversament proporcional als sous podem escriure
      $\displaystyle \dfrac{\;x_1\;}{\frac{1}{s_1}}=\dfrac{\; x_2 \;}{\frac{1}{s_2}}=\dfrac{\; x_3 \;}{\frac{1}{s_3}}=\dfrac{\; x_1+x_2+x_3 \;}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}}$
Per altra banda, si $s$ és la mitjana aritmètica dels tres sous, i tenint en compte la informació de l'enunciat que els relaciona, podem escriure
    $\left\{\begin{matrix} s&=&\dfrac{1}{3}\,(s_1+s_2+s_3)\\\\s_1&=&\dfrac{2}{3}\,s\\ \\s&=&\dfrac{3}{4}\,s_3 \end{matrix}\right.$
D'aquí obtenim
    $s_1=\dfrac{2}{3}\,s$
    $s_2=s$
    $s_3=\dfrac{4}{3}\,s$
I, tenint en compte que
    $x_1+x_2+x_3=359\,568$
veiem que la constant de proporcionalitat és igual a
    $\dfrac{\; x_1+x_2+x_3 \;}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}}=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568$
I, per tant, de cada igualtat de la cadena d'igualtats obtenim
    $\dfrac{2\,s}{3}\,x_1=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_1 \approx 165\,954,46 \, \text{\euro}$
    $s\,x_2=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_2 \approx 110\,636,31 \, \text{\euro}$
    $\dfrac{4\,s}{3}\,x_3=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_3 \approx 82\,977,23 \, \text{\euro}$
$\square$

[nota del autor]

Queremos repartir de forma inversamente proporcional ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un avi vol repartir $50,00\,\text{euros}$ entre els seus tres nets, que tenen $4$, $5$ i $6$ anys d'edat, respectivament. Calculeu quant correspon a cadascun si el criteri de repartiment ha de ser inversament proporcional a l'edat.

Solució:
Anomenem:
  $p$ a la quantitat que li correspon al petit
  $m$ a la quantitat que li correspon al mitjà
  $g$ a la quantitat que li correspon al gran

És evident que haurem de trobar que $p \ge m \ge g$. I s'haurà de complir que
    $\dfrac{\;p\;}{\frac{1}{4}}=\dfrac{\;m\;}{\frac{1}{5}}=\dfrac{\;g\;}{\frac{1}{6}}$
Cada una d'aquestes raons aritmètiques ha de ser igual a la constant de proporcionalitat inversa, $k_i$, que, per les propietats de les igualtats entre raons aritmètiques ( proporcions ), és igual a
    $\dfrac{\;p+m+g\;}{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}}$
i, com que $p+m+g$ és igual a $50$ ( la quantitat total a repartir )
obtenim que aquesta la constant de proporcionalitat inversa ( operant i simplificant ) té el següent valor
  $k_i=\dfrac{3000}{37}$
Per tant,
    $\dfrac{\;p\;}{\frac{1}{4}}=\dfrac{3000}{37} \Rightarrow p \approx 20,27 \,\text{euros}$
    $\dfrac{\;m\;}{\frac{1}{5}}=\dfrac{3000}{37} \Rightarrow m \approx 16,22 \,\text{euros}$
    $\dfrac{\;g\;}{\frac{1}{6}}=\dfrac{3000}{37} \Rightarrow g \approx 13,51 \,\text{euros}$
$\square$

[nota del autor]

Un ciclista ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Observem un ciclista en una bicicleta de muntanya ( el diàmetre de les rodes és de $26 \,\text{polzades}$ - encara avui és habitual fer servir les imperial units quan parlem del diàmetre de les rodes de les bicicletes - , és a dir, $660\,\text{mm}$ en el sistema mètric ) i veiem que fa $1$ pedalada cada segon, en un terreny horitzontal ( sense pujades ni baixades ), sempre al mateix ritme i, per tant, a velocitat constant. Sabem que al canvi de la seva bicicleta, el ciclista ha seleccionat un plat de $52$ dents i una corona $13$ dents [ com ja sabeu, quan pedalem fem girar el plat, empenyent les bieles, i, mitjançant la cadena de transmissió, el moviment es transmet a la la corona de la roda del darrere ]. Us demanem:
    a) A quina velocitat es desplaça aquest ciclista ?
    b) Quant de temps li caldrà per completar un recorregut de $15\,\text{km}$ pel mateix tipus de terreny ( sense pujades ni baixades, mantenint el ritme de les pedalades ) ?.

Solució:
a)
[a.1]     Primer de tot, calcularem la velocitat de gir de les rodes de la bicicleta i, tal com s'ha explicat en d'altres problemes, les magnituds proporcionals que entren en joc són la velocitat de gir i el nombre de dents. Aquestes magnituds són inversament proporcionals l'una respecte de l'altra perquè la velocitat de gir d'una de les les dues rodes engranades per la cadena és tan més gran com més petit és el seu nombre de dents. Designem per $w_p$ la velocitat de gir del plat i per $w_c$ la velocitat de gir de la corona, i, anomenem $z_p$ al nombre de dents del plat i $z_c$ al nombre de dents de la corona. Llavors, per la relació de proporcionalitat inversa podem platejar
    $\dfrac{w_p}{\frac{1}{d_p}}=\dfrac{w_c}{\frac{1}{d_c}}$
és a dir
    $w_p \cdot d_p=w_c \cdot d_c$
Llavor, amb les dades del problema, tindrem
    $52 \cdot 1 = 13 \cdot w_c$
I, resolent aquesta senzilla equació, obtenim
    $w_c= \dfrac{52 \cdot 1}{13} $
            $= 4 \; \dfrac{\text{voltes}}{\text{s}}$

[a.2]     A continuació, sabent quant val la velocitat de gir de les rodes de la bicicleta i coneixent també la mesura del diàmetre de les rodes, podem calcular la velocitat a la qual es desplaça: la velocitat lineal d'un punt de la circumferència d'una roda ha de ser igual a la velocitat de translació de la bicicleta, atès que, en bona lògica, suposem que el desplaçament es produeix sense que hi hagi lliscament.

Com que la longitud de la circumferència del contorn de la roda és igual a $\pi\cdot d$ ( on $d$ representa el diàmetre de la roda ), raonem de la manera següent: donat que en $1\,\text{s}$ les rodes completen $4$ voltes, i, per cada volta, la bicicleta es desplaça una longitud igual a
    $\pi\cdot d \quad \text{unitats de longitud}$
llavors, fent $4$ voltes de roda en aquest interval de temps, la bicicleta recorre
    $4\,\pi\cdot d \quad \text{unitats de longitud}$
que, donada la dada del diàmetre, és igual aproximadament a
    $8\,294 \quad \text{mm}=8,294 \quad \text{m} \approx 8,294 \quad \text{km} $
és a dir, es desplaça a una velocitat de
    $8,294 \; \dfrac{\text{km}}{s}$
que, expressada en quilòmetres per hora, és aproximadament igual a
    $30 \; \dfrac{\text{km}}{h}$

b)
    Sabent a quina velocitat es mou podem calcular, ara, el temps $t$ que tardarà a recórrer una longitud de $30\,\text{km}$; per això, plantejarem una senzill proporció que, ara, és directa ( entre les magnituds temps i longitud ) atès que quan el valor d'una d'aquestes augmenta ( disminueix, respectivament ) l'altra també augmenta ( disminueix, respectivament), és a dir, prenent el valor aproximat de la velocitat expressada en quilòmetres per hora, que hem calculat a l'apartat anterior, escriurem la següent proporció, que, donat que és directa hem decidit posar els valors de la longitud als denominadors i les quantitats de temps als numeradors ( d'un i altre membre)
    $\dfrac{1}{30}=\dfrac{t}{15} \Rightarrow t = 0,5 \, \text{h}=30 \, \text{min}$

Nota:     Observem que l'equació expressa la igualtat entre les dues raons aritmètiques ( de cada membre ), que representen les velocitats i que, naturalment, han de ser iguals.
$\square$

[nota del autor]

En una bicicleta, ponemos la siguiente combinación de piñón y platos ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En una bicicleta, posem la següent marxa: un plat de $52$ dents i una corona $13$ dents. Com ja sabeu, quan pedalem fem girar el plat, empenyent les bieles, i, mitjançant la cadena de transmissió, el moviment es transmet a la la corona de la roda del darrere. La pregunta que us plantegem, ara, és la següent: per cada tres voltes que fa el plat, quantes voltes fa la corona ?.

Solució:
Les magnituds proporcionals que entren en joc són la velocitat de gir i el nombre de dents. Aquestes magnituds són inversament proporcionals perquè la velocitat de gir és tan més gran com més petit és el nombre de dents. Anomenant $w_p$ a la velocitat de gir del plat, $w_c$ a la de la corona; $z_p$ al nombre de dents del plat i $z_c$ al nombre de dents de la corona, podem platejar la següent proporció inversa,
    $\dfrac{w_p}{\frac{1}{d_p}}=\dfrac{w_c}{\frac{1}{d_c}}$
és a dir
    $w_p \cdot d_p=w_c \cdot d_c$
Llavor, amb les dades del problema, tindrem
    $52 \cdot 3 = 13 \cdot w_c$
I, resolent aquesta senzilla equació, obtenim
    $w_c= \dfrac{52 \cdot 3}{13} $
            $= 12 \; \dfrac{\text{voltes}}{\text{s}}$
$\square$

[nota del autor]

Un pintor puede pintar un muro en tres horas ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un pintor A pot pintar un tanca en tres hores. Un company seu, que anomenarem B, la pot pintar en dues hores. Si decideixen col·laborar, treballant simultàniament, sense destorbar-se l'un a l'altre, quant de temps tardaran a pintar-la ?.

Solució:
Si A, tot sol, pinta tota la tanca en tres hores, llavors en pinta una tercera part en una hora, i, si B pinta la totalitat de la tanca ( treballant sol ) en dues hores, llavors en pinta la meitat en una hora. Per tant, en una mateixa hora, tots dos treballant simultàniament, pinten
    $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}$
que és igual a
    $\dfrac{5}{6}$
parts de la tanca

A partir, d'aquí, anomenem $t$ al temps que els cal per pintar-la treballant a la vegada i plategem la proporció directa corresponent:
    $\dfrac{\;t\;}{\frac{6}{6}}=\dfrac{\;1;}{\frac{5}{6}}$
és a dir
    $t=\dfrac{\;1}{\frac{5}{6}}$
      $=\frac{6}{5}$
      $=1+\frac{1}{5}$
      $=1 \; \text{h} \; 12 \; \text{min}$
$\square$

[nota del autor]

Una batería ( totalmente cargada ) alimenta una bombilla ...

Enunciado:
Una batería ( totalmente cargada ) alimenta una bombilla de $10 \, \text{W}$ de potencia. Después de $10\,\text{h}$ la batería se agota. Si en lugar de una bombilla de $10\,\text{W}$ hubiese alimentado una bombilla de $8\,\text{W}$, ¿ cuánto habría durado la carga de la batería ?.

Enunciado:
Las magnitudes relacionadas en este problema son la potencia de la bombilla, $\mathcal{P}$, y la duración de la batería, $\mathcal{T}$. Por conocimientos elementales de física sabemos que dichas magnitudes son inversamente proporcionales; así, si $p_1$ i $p_2$ son dos valores de la potencia ( correspondientes a cada una de las dos bombillas ) y, $t_1$ y $t_2$ son os valores de las respectivas duraciones de la batería, podemos plantear la siguiente proporción:
    $\dfrac{t_1}{\frac{1}{p_1}}=\dfrac{t_2}{\frac{1}{p_2}}$
que también puede expresarse de la forma
    $t_{1}\cdot p_{1}=t_{1}\cdot p_{1}$

Y con los datos del enunciado:
    $p_1=10 \, \text{W}$
    $t_1=10 \, \text{h}$
    $p_2=8 \, \text{W}$
    $t_2=\text{?}$

llegamos a la siguiente ecuación
    $10\cdot 10=t_{2}\cdot 8$
y resolviéndola llegamos a
    $t_{2}=\dfrac{10\cdot 10}{8}$
        $=12,5 \; \text{h}$
        $=12\, \text{h} \quad 30 \, \text{min}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de aplicación de la proporcionalidad inversa a la transmisión de movimiento de rotación entre dos poleas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Dues politges estan unides per una corretja de transmissió. El diàmetre d'una de les politges és de $30 \, \text{cm}$ i un eix motriu la fa girar a velocitat constant, a raó de $20 \, \text{voltes}$ cada minut. L'altra politja, a la qual la primera li transmet el moviment, gira a raó de $24 \, \text{voltes}$ cada minut. Quin diàmetre té aquesta segona politja ?.

Nota:   Cal que tingueu en compte que la velocitat de gir $w_1$ de la politja de diàmetre $d_1$, que està unida per una corretja de transmissió a una altra politja de diàmetre $d_0$ i que gira a una velocitat $w_0$, és tal que
        $\dfrac{w_0}{\frac{1}{d_0}}=\dfrac{w_1}{\frac{1}{d_1}}$
és a dir, la velocitat a la qual gira cada politja inversament proporcional al seu diàmetre
    $w \propto \dfrac{1}{d}$

Solució:
Tenint en compte l'ajut de la nota adjunta de l'enunciat, i posant directament les dades numèriques, podem escriure
        $\dfrac{20}{\frac{1}{30}}=\dfrac{24}{\frac{1}{d_1}}$
és a dir
        $20 \cdot 30=24\,d_1$
operant
        $600=24\,d_1$
i aïllant la incògnita trobem el valor del diàmetre demanat
        $d_1=\dfrac{600}{44}$
            $=25 \, \text{cm}$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de proporcionalidad inversa aplicado a un problema de cinemática. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un ciclista que circula a una velocitat de vint quilòmetres per hora té una hora d'avantatge respecte d'un motorista que circula a seixanta quilòmetre per hora. Quant de temps tardarà el motorista a donar-li abast ?.

Solució:
Anomenem $t$ al temps que tarda el motorista a donar-li abast ( des del moment que el ciclista li porta una hora d'avantatge ); llavors, el temps que el ciclista està circulant ( fins el moment que li dóna abast el motorista ) és $t+1$ ( expressem el temps en hores ).

Tenint en compte que les magnituds temps i velocitat són inversament proporcionals, podem escriure:
      $\dfrac{\;60\;}{\frac{1}{t}}=\dfrac{\;20\;}{\frac{1}{t+1}}$
i, d'aquí,
      $60\,t=20\,(t+1)$
      $60\,t-20\,t=20$
      $40\,t=20$
      $t=0,5 \; \text{h}$
          $=30 \; \text{min}$


Nota:   Una altra manera de plantejar-ho consisteix a raonar de la següent manera: durant l'hora que el motorista està parat, el ciclista recorre $20\,\text{km}$. Quan el motorista es posa en marxa, el problema equival a calcular el temps necessari per tal que aquest recorri els $20\,\text{km}$ recorreguts pel ciclista, a una velocitat relativa de
    $(60-20)\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
considerant el ciclista parat ( a $20 \, \text{km}$ del punt d'on surt el motorista ).
Llavors, el temps que li cal per recorre aquesta distància és igual a
    $\dfrac{20}{40}\, \text{h}=30 \, \text{min}$.
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de proporcionalidad inversa. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Per fer un determinat recorregut, una persona tarda dues hores caminant a una velocitat de quatre quilòmetres per hora. Quant de temps tardaria a fer el mateix recorregut si caminés a una velocitat de cinc quilòmetres per hora ?.

Solució:
Aquest és un problema on intervenen les següents magnituds: la velocitat a la qual camina, i la magnitud temps emprat recórrer un determinat trajecte. Aquestes magnituds són inversament proporcionals, perquè més de pressa camini ( més velocitat ) menys temps necessitarà per arribar. Llavors podrem escriure la igualtat entre les raons aritmètiques
    $\dfrac{\;4\;}{\frac{1}{2}}=\dfrac{\;5\;}{\frac{1}{t}}$
o el que és equivalent
    $4 \cdot 2=5\,t$
( on $t$ representa la quantitat de temps que se'ns demana que calculem )
Per resoldre aquesta equació de primer grau, dividirem ambdós membres de la igualtat per $5$, i, simplificant, ens quedarà aïllada la incògnita ( $t$ ):
    $\dfrac{4\cdot 2}{5}=\dfrac{5\,t}{5}$

    $\dfrac{8}{5}=\dfrac{5}{5} \cdot t$

    $\dfrac{8}{5}=1 \cdot t$

és a dir

    $t=\dfrac{8}{5}=1+\dfrac{3}{5}$
        $t=1,6 \; \text{h}$
        $t=1 \, \text{h} \quad 36 \, \text{min}$

$\square$

[nota del autor]

Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.

Enunciado:
Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.

Resolución:
Sean $x_1$ ( euro ) e $y_1=30$ ( min ), y $x_2$ ( euro ) e $y_2=25$ ( min ) las cantidades que les corresponden y los tiempos respectivos. Al ser las magnitudes $x$ e $y$ inversamente proporcionales, debe cumplirse que:
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}$$
con lo cual, también podemos escribir
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}=\dfrac{x_1+x_2}{1/y_1+1/y_2}$$
poniendo los datos del problema:
$$\dfrac{x_1}{1/30}=\dfrac{x_2}{1/25}=\dfrac{100}{1/30+1/25} \quad \quad (1)$$
siendo, pues, la constante de proporcionalidad, $k$, igual a $\dfrac{100}{1/30+1/25}=15\,000/11$
Por tanto, de la doble igualdad (1), podemos plantear:

    $\dfrac{x_1}{1/30}=k$, y, de aquí, $x_1=30 \cdot 15\,000 / 11 \approx 45,45 $ euro

    $\dfrac{x_2}{1/25}=k$, con lo cual, $x_2=25 \cdot 15\,000 / 11 \approx 54,55 $ euro

$\blacksquare$

[nota del autor]

Con dos conducciones de agua idénticas, podemos llenar un depósito de agua en tres horas. Si dispusiéramos de una conducción de agua más, del mismo tipo que las dos primeras, ¿ en cuánto tiempo llenaríamos el mismo depósito ?.

Enunciat:
Con dos conducciones de agua idénticas, podemos llenar un depósito de agua en tres horas. Si dispusiéramos de una conducción de agua más, del mismo tipo que las dos primeras, ¿ en cuánto tiempo llenaríamos el mismo depósito ?.

Resolución:
Entre las magnitudes número de conducciones de agua ( que denotamos por $n$ ) y tiempo de llenado del depósito ( que denotamos por $t$ ) hay una relación de proporcionalidad inversa, pues cuántas más conducciones ( idénticas ) participen menor será el tiempo que se tarda en llenar el depósito. Así, pues, debe cumplirse que
$$\dfrac{n_1}{1/t_1}=\dfrac{n_2}{1/t_2}$$
es decir $n_1 \cdot t_1=n_2 \cdot t_2$, siendo $t_2$ la incógnita del problema; sustituyendo los datos: $n_1=2$ ( conducciones ), $t_1=3$ ( horas ) y $n_2=3$ ( conducciones ), obtenemos
$2 \cdot 3=3 \cdot t_2$, y, de aquí, $n_2=2 \,\text{horas}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

La proporcionalidad inversa en problemas habituales

Enunciat Dotze persones volen fer una excursió. Han previst 1000 g d'un determinat aliment per cap. A l'últim moment, però, només són vuit. I, com que ja han comprat les coses, volen saber quina quantitat Q correspon a cada persona, ara. Resolució     Mètode elemental: Una resolució molt senzilla i eficaç és la següent. Com que quatre persones s'han retirat i ja no van d'execursió, hi han 4000 g més d'aquest aliment a repartir entre les vuit persones que sí que hi van; això fa que cada una d'elles disposi de 4000:8 = 500 g d'aquest aliment més. És a dir, a cadascuna de les vuit persones els correspon 1000 + 500 = 1500 g. Això és el que, possiblement faria un alumne de 1r d'ESO. Ara bé, quan plantejo el problema als alumnes de 3r curs, a més a més d'aquesta resolució, els demano que pensin en un altra on aparegui d'una manera clara la relació de proporcionalitat inversa entre el nombre de persones i la quantitat que els correspon.     Mètode interessant La quantitat Q és inversament proporcional al nombre de persones N; llavors, podem dir que Q és directament proporcional a 1/N. Si anomenem C a la constant de proporcionalitat podem escriure que Q = C/N i, per tant, Q.N=C. És a dir, la quantitat Q.N pren el mateix valor tant en la situació inicial (quan eren dotze: Q1N1), com ara, que són vuit: Q2N2. Tenint en compte que Q1=1000 g, N1=12, i N2=8, tenim que Q1N1 = Q2N2 I amb els valors donats: 1000(12)=8.Q2 D'aquí trobem que Q2 = 1000.(12/8) = 1500 g/persona Hi han molts exemples de magnituds en relació de proporcionalitat inversa en el món que ens envolta. Exposaré a continuació uns quants exemples sobre això que exposo com analogies al problema sezill del repartiment del qual he parlat al començament 1. Una analogia: la llei física de Boyle-Mariotte sobre els gasos ideals font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Ley_de_Boyle_Mariotte.png En Física, trobem moltes lleis de proporcionalitat inversa. Per exemple, la llei de Boyle-Mariotte (sobre els gasos ideals) - que ve a dir que, a temperatura constant, el volum V que ocupa un gas ideal és inversament proporcional a la pressió P a la qual es sotmés - segueix el mateix patró matemàtic que el problema exposat: PV = k, on k és la constant de proporcionalitat. Per tant, donades dues situacions P1V1 i P1V1, podrem treballar plantejant la igualtat P1V1 = P2V2 2. Una altra analogia: la relació de proporcionalitat inversa entre el nombre de dents i la velocitat angular de dues rodes engranades font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Gears_animation.gif El nombre de dents z d'una roda engranada a una altra que li transmet el moviment és inversament proporcional a la velocitat angular w, de tal manera que obtenim una fórmula similar: z1.w1 = z2.w2 3 Més encara ... La premsa hidràulica Es tracta d'una aplicació del principi de Pascal (la pressió es transmet per igual a tots els punts d'un fluïd incompressible). F2.S2 = F3.S3 Si sobre l'èmbol (2) exercim una força F2 sobre (3) actuarà una força S3/S2 vegades més gran que la primera (S3 > S2 ). Així podem aixecar cossos pensants fent tan sols una part de la força que representa el seu pes. 3. I encara més ... les palanques Succeeix quelcom semblant, per exemple, amb una palanca de primer gènere: font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/LeverPrincleple.svg/500px-LeverPrincleple.svg.png F1.D1 = F2.D2 Naturalment, també es compleix la relació inversa entre la força i el braç amb les palanques de 2n i 3r gènere. Fixeu-vos en la de segon gènere (un carretó): font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Brouette_equilibre.jpg/350px-Brouette_equilibre.jpg F.b = P.a