Repartir de forma inversamente proporcional ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En un testament s'estableix que es reparteixi la quantitat de $359\,568 \; \text{\euro}$ entre tres persones en parts inversament proporcionals al sou mensual de cadascuna. Calculeu quant correspon a cada hereu sabent que: a) el sou més baix és dues terceres parts de la mitjana aritmètica dels tres sous, i, b) la mitjana aritmètica és igual a tres quartes parts del sou més alt.

Solució:
Anomenem $s_1$, $s_2$ i $s_3$ als sous respectius ( i considerem que $s_1 \prec s_2 \prec s_3$, que no afectarà al resultat ), i, $x_1$, $x_2$, $x_3$, a les quantitats que han de percebre els hereus.
Llavors, si el repartiment és inversament proporcional als sous podem escriure
      $\displaystyle \dfrac{\;x_1\;}{\frac{1}{s_1}}=\dfrac{\; x_2 \;}{\frac{1}{s_2}}=\dfrac{\; x_3 \;}{\frac{1}{s_3}}=\dfrac{\; x_1+x_2+x_3 \;}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}}$
Per altra banda, si $s$ és la mitjana aritmètica dels tres sous, i tenint en compte la informació de l'enunciat que els relaciona, podem escriure
    $\left\{\begin{matrix} s&=&\dfrac{1}{3}\,(s_1+s_2+s_3)\\\\s_1&=&\dfrac{2}{3}\,s\\ \\s&=&\dfrac{3}{4}\,s_3 \end{matrix}\right.$
D'aquí obtenim
    $s_1=\dfrac{2}{3}\,s$
    $s_2=s$
    $s_3=\dfrac{4}{3}\,s$
I, tenint en compte que
    $x_1+x_2+x_3=359\,568$
veiem que la constant de proporcionalitat és igual a
    $\dfrac{\; x_1+x_2+x_3 \;}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}}=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568$
I, per tant, de cada igualtat de la cadena d'igualtats obtenim
    $\dfrac{2\,s}{3}\,x_1=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_1 \approx 165\,954,46 \, \text{\euro}$
    $s\,x_2=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_2 \approx 110\,636,31 \, \text{\euro}$
    $\dfrac{4\,s}{3}\,x_3=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_3 \approx 82\,977,23 \, \text{\euro}$
$\square$

[nota del autor]

Queremos repartir de forma inversamente proporcional ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un avi vol repartir $50,00\,\text{euros}$ entre els seus tres nets, que tenen $4$, $5$ i $6$ anys d'edat, respectivament. Calculeu quant correspon a cadascun si el criteri de repartiment ha de ser inversament proporcional a l'edat.

Solució:
Anomenem:
  $p$ a la quantitat que li correspon al petit
  $m$ a la quantitat que li correspon al mitjà
  $g$ a la quantitat que li correspon al gran

És evident que haurem de trobar que $p \ge m \ge g$. I s'haurà de complir que
    $\dfrac{\;p\;}{\frac{1}{4}}=\dfrac{\;m\;}{\frac{1}{5}}=\dfrac{\;g\;}{\frac{1}{6}}$
Cada una d'aquestes raons aritmètiques ha de ser igual a la constant de proporcionalitat inversa, $k_i$, que, per les propietats de les igualtats entre raons aritmètiques ( proporcions ), és igual a
    $\dfrac{\;p+m+g\;}{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}}$
i, com que $p+m+g$ és igual a $50$ ( la quantitat total a repartir )
obtenim que aquesta la constant de proporcionalitat inversa ( operant i simplificant ) té el següent valor
  $k_i=\dfrac{3000}{37}$
Per tant,
    $\dfrac{\;p\;}{\frac{1}{4}}=\dfrac{3000}{37} \Rightarrow p \approx 20,27 \,\text{euros}$
    $\dfrac{\;m\;}{\frac{1}{5}}=\dfrac{3000}{37} \Rightarrow m \approx 16,22 \,\text{euros}$
    $\dfrac{\;g\;}{\frac{1}{6}}=\dfrac{3000}{37} \Rightarrow g \approx 13,51 \,\text{euros}$
$\square$

[nota del autor]

Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.

Enunciado:
Queremos repartir $100$ euro entre dos deportistas que han quedado clasificados en una competición de forma inversamente proporcional a los tiempo de llegada a la meta, que son: $30$ minutos y $25$ minutos, respectivamente. Calcular la cantidad que le corresponde a cada finalista.

Resolución:
Sean $x_1$ ( euro ) e $y_1=30$ ( min ), y $x_2$ ( euro ) e $y_2=25$ ( min ) las cantidades que les corresponden y los tiempos respectivos. Al ser las magnitudes $x$ e $y$ inversamente proporcionales, debe cumplirse que:
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}$$
con lo cual, también podemos escribir
$$\dfrac{x_1}{1/y_1}=\dfrac{x_2}{1/y_2}=\dfrac{x_1+x_2}{1/y_1+1/y_2}$$
poniendo los datos del problema:
$$\dfrac{x_1}{1/30}=\dfrac{x_2}{1/25}=\dfrac{100}{1/30+1/25} \quad \quad (1)$$
siendo, pues, la constante de proporcionalidad, $k$, igual a $\dfrac{100}{1/30+1/25}=15\,000/11$
Por tanto, de la doble igualdad (1), podemos plantear:

    $\dfrac{x_1}{1/30}=k$, y, de aquí, $x_1=30 \cdot 15\,000 / 11 \approx 45,45 $ euro

    $\dfrac{x_2}{1/25}=k$, con lo cual, $x_2=25 \cdot 15\,000 / 11 \approx 54,55 $ euro

$\blacksquare$

[nota del autor]