Repartir de forma inversamente proporcional ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En un testament s'estableix que es reparteixi la quantitat de $359\,568 \; \text{\euro}$ entre tres persones en parts inversament proporcionals al sou mensual de cadascuna. Calculeu quant correspon a cada hereu sabent que: a) el sou més baix és dues terceres parts de la mitjana aritmètica dels tres sous, i, b) la mitjana aritmètica és igual a tres quartes parts del sou més alt.

Solució:
Anomenem $s_1$, $s_2$ i $s_3$ als sous respectius ( i considerem que $s_1 \prec s_2 \prec s_3$, que no afectarà al resultat ), i, $x_1$, $x_2$, $x_3$, a les quantitats que han de percebre els hereus.
Llavors, si el repartiment és inversament proporcional als sous podem escriure
      $\displaystyle \dfrac{\;x_1\;}{\frac{1}{s_1}}=\dfrac{\; x_2 \;}{\frac{1}{s_2}}=\dfrac{\; x_3 \;}{\frac{1}{s_3}}=\dfrac{\; x_1+x_2+x_3 \;}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}}$
Per altra banda, si $s$ és la mitjana aritmètica dels tres sous, i tenint en compte la informació de l'enunciat que els relaciona, podem escriure
    $\left\{\begin{matrix} s&=&\dfrac{1}{3}\,(s_1+s_2+s_3)\\\\s_1&=&\dfrac{2}{3}\,s\\ \\s&=&\dfrac{3}{4}\,s_3 \end{matrix}\right.$
D'aquí obtenim
    $s_1=\dfrac{2}{3}\,s$
    $s_2=s$
    $s_3=\dfrac{4}{3}\,s$
I, tenint en compte que
    $x_1+x_2+x_3=359\,568$
veiem que la constant de proporcionalitat és igual a
    $\dfrac{\; x_1+x_2+x_3 \;}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}}=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568$
I, per tant, de cada igualtat de la cadena d'igualtats obtenim
    $\dfrac{2\,s}{3}\,x_1=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_1 \approx 165\,954,46 \, \text{\euro}$
    $s\,x_2=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_2 \approx 110\,636,31 \, \text{\euro}$
    $\dfrac{4\,s}{3}\,x_3=\dfrac{4\,s}{13}\cdot 359\,568 \Rightarrow x_3 \approx 82\,977,23 \, \text{\euro}$
$\square$

[nota del autor]