Considérese el triángulo rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu un triangle rectangle $\triangle{ABC}$. Un dels catets, $c$, mesura $3\,\text{cm}$; la seva projecció, $n$, sobre la hipotenusa, $b$, mesura $2\,\text{cm}$. Calculeu l'àrea i el perímetre del triangle rectangle.

Solució:
La recta perpendicular a la hipotenusa que passa per $B$ divideix el triangle $\triangle{ABC}$ en dos triangles rectangles: $\triangle{ABP}$ i $\triangle{BCP}$, on $P$ és el punt que es troba sobre la hipotenusa, sota la vertical de $B$. Anomenem $h$ a la distància entre $B$ i $P$.

Llavors, aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{ABP}$, podrem calcular el valor de $h$:
    $h^2+2^2=3^2 \Rightarrow h=\sqrt{5} \, \text{cm}$

Pel teorema de l'altura ( triangle $\triangle{ABC}$ ) podem escriure
    $2\,m= h^2$
és a dir
    $2\,m= 5$
i, d'aquí, trobem
    $2m= \dfrac{5}{2}\, \text{cm}$
amb la qual cosa sabem que
    $b=2+\frac{5}{2}=\dfrac{9}{2}\,\text{cm}$

Ara, ja podem calcular l'àrea del triangle $\triangle{ABC}$, fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\,b\,h$
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{2}\,\sqrt{5}$
      $=\dfrac{9\,\sqrt{5}}{4}\,\text{cm}^2$
      $\approx 5 \,\text{cm}^2$

Finalment, per calcular el perímetre $\mathcal{P}$, ens cal calcular el valor de $a$, que trobarem aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{BCP}$
    $\big(\dfrac{5}{2}\big)^2+(\sqrt{5})^2=a^2 \Rightarrow a=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \,\text{cm}$

Fet això, tenim que
    $\mathcal{P}=a+b+c$
      $=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2}+\dfrac{9}{2}+3$
      $=\dfrac{3}{2}\,(5+\sqrt{5})\,\text{cm}$
      $\approx 11 \,\text{cm}$

$\square$

[nota del autor]