Processing math: 100%

martes, 21 de abril de 2015

Un cono tiene una altura de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un con té una altura igual a 4\, \text{m}, i, el radi de la base mesura 2\, \text{m}. Calculeu l'angle que abasta el sector circular corresponent a la superfície lateral del desenvolupament pla. Calculeu també l'àrea de la superfície lateral del con.

Solució:
Per calcular l'angle \alpha del sector circular (que és l'àrea lateral del desenvolupament pla), que te radi igual a la generatriu del con, cal plantejar una proporció directa entre l'amplitud angular i la longitud de l'arc:
    \dfrac{\alpha}{2\pi\,r}=\dfrac{360^{\circ}}{2\pi\,g} \Rightarrow \alpha = \dfrac{r}{g}\,360^{\circ} \quad \quad (1)

Caldrà, doncs, calcular la longitud de la generatriu, g, que, pel teorema de Pitàgores aplicat al triangle rectangle que es configura en tallar el con per un pla diametral, s'escriu
    g^2=r^2+h^2   ( h és l'altura del con )
és a dir
    g^2=2^2+4^2 \Rightarrow g=2\,\sqrt{5}
Llavors, de (1)
    \alpha = \dfrac{r}{g}\,360^{\circ}
      = \dfrac{2}{2\,\sqrt{5}}\,360^{\circ}\approx 80^{\circ}
Per calcular l'àrea de la superfície lateral del con ( del sector circular de la figura ) tornarem a fer ús de la relació de proporcionalitat directa entre la longitud d'arc i l'àrea:
    \dfrac{\mathcal{A}}{2\,\pi\,r}=\dfrac{\pi\,g^2}{2\,\pi\,g} \Rightarrow \mathcal{A}=\pi\,r\,g
I, donades les dades del problema, el seu valor és
    \mathcal{A}=\pi \, 2 \cdot 2\,\sqrt{5}
          =4\,\sqrt{5}\,\pi \, \text{m}^2
          \approx 29\, \text{m}^2
\square


[nota del autor]

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Gracias por tus comentarios