Enunciat:
Un con té una altura igual a $4\, \text{m}$, i, el radi de la base mesura $2\, \text{m}$. Calculeu l'angle que abasta el sector circular corresponent a la superfície lateral del desenvolupament pla. Calculeu també l'àrea de la superfície lateral del con.
Solució:
Per calcular l'angle $\alpha$ del sector circular (que és l'àrea lateral del desenvolupament pla), que te radi igual a la generatriu del con, cal plantejar una proporció directa entre l'amplitud angular i la longitud de l'arc:
$\dfrac{\alpha}{2\pi\,r}=\dfrac{360^{\circ}}{2\pi\,g} \Rightarrow \alpha = \dfrac{r}{g}\,360^{\circ} \quad \quad (1)$
Caldrà, doncs, calcular la longitud de la generatriu, $g$, que, pel teorema de Pitàgores aplicat al triangle rectangle que es configura en tallar el con per un pla diametral, s'escriu
$g^2=r^2+h^2$ ( $h$ és l'altura del con )
és a dir
$g^2=2^2+4^2 \Rightarrow g=2\,\sqrt{5}$
Llavors, de (1)
$\alpha = \dfrac{r}{g}\,360^{\circ}$
$ = \dfrac{2}{2\,\sqrt{5}}\,360^{\circ}\approx 80^{\circ}$
Per calcular l'àrea de la superfície lateral del con ( del sector circular de la figura ) tornarem a fer ús de la relació de proporcionalitat directa entre la longitud d'arc i l'àrea:
$\dfrac{\mathcal{A}}{2\,\pi\,r}=\dfrac{\pi\,g^2}{2\,\pi\,g} \Rightarrow \mathcal{A}=\pi\,r\,g$
I, donades les dades del problema, el seu valor és
$\mathcal{A}=\pi \, 2 \cdot 2\,\sqrt{5}$
$=4\,\sqrt{5}\,\pi \, \text{m}^2$
$\approx 29\, \text{m}^2$
$\square$
