ESO3 ( e. académicas ) - Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos expuestos y las lecturas del libro de texto de la semana del 22 al 28 de marzo

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ESO3 ( e. aplicadas ) - Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos expuestos y las lecturas del libro de texto de la semana del 22 al 28 de febrero

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Ejercicio 6 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Cálculo del coste para fabricar una tienda de forma cónica, conociendo el precios de las telas ...

INDICACIÓN. Leed las páginas 234, 235, 236 y 237 de la Unidad 12 del libro base

ENUNCIADO. [Ejercicio 10 de la página 237]

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic sobre la imagen para verla en su tamaño natural )

Volumen y área del desarrollo plano de un cono. Trazado del desarrollo plano de un cono.

ENUNCIADO. Considérese un cono con los siguientes datos: radio de la base ( circular ) igual a $3$ decímetros, y generatriz igual a $5$ decímetros. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del cono, con sus datos
b) El volumen del cono
c) Un dibujo esquemático del desarrollo plano del cono, con los datos dados del enunciado
d) El área total del desarrollo plano de dicho cono
e) El valor del ángulo del trazado de la superficie lateral del cono

ENUNCIADO.

Conos. Relaciones métricas.

ENUNCIADO. Considérese un cono con los siguientes datos: radio de la base ( circular ) igual a $6$ decímetros, y generatriz igual a $10$ decímetros. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del cono, con sus datos
b) El volumen del cono
c) El valor del ángulo del trazado de la superficie lateral del cono
d) Un dibujo del desarrollo plano del cono, con los datos dados del enunciado
e) El área total del desarrollo plano de dicho cono


SOLUCIÓN.
Continuación ( trazado del desarrollo plano ):
Seguimos con el último apartado (e):

Hallar el volumen y el área lateral de un cono ...

ENUNCIADO. Considerar un cono de $4$ decímetros de altura y cuya base tiene un radio de $3$ decímetros. Se pide:
a) el volumen del cono
b) la longitud de la generatriz
c) el área lateral del cono
d) el área de la base ( circular ) del cono

SOLUCIÓN.

a)
El volumen del conom, $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$, es igual a $$V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^2$$

b)
Cortando el cono por un plano diametral vemos que en la sección obtenida se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatriz del cono, de catetos el radio de la base y la altura del cono, luego podemos escribir $g^2=h^2+r^2$ ( teorema de Pitágoras ), y poniendo los datos, $$g^2=4^2+3^2=5^2 \Rightarrow g=5\; \text{dm}$$

c)
El área lateral ( del desarrollo del cono ) viene dada por el área del sector circular cuyo ángulo central es proporcional a la longitud de su arco, esto es, a la longitud de la circunferencia de la base, y como hemos visto en clase, es igual a $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g$. Poniendo pues los datos, obtenemos $$A_{\text{lateral}}=\pi\cdot 5 \cdot 3 = 15 \,\pi \; \text{dm}^2$$

d)
El área de la base del cono, que es un círculo, es igual a $A_{\text{base}}=\pi\,r^2$; y, poniendo los datos, obtenemos $$A_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2$$

$\square$

Considere los siguientes cuerpos geométricos en el espacio: a) un cono de $4\,\text{dm}$ de generatriz y $3\,\text{dm}$ de radio de la base; b) un cilindro de $5\,\text{dm}$ de altura y $2\,\text{dm}$ de radio de la base, y, c) un prisma recto de base rectangular cuyas aristas desiguales miden $2\,\text{dm}$, $3\,\text{dm}$ y $4\,\text{dm}$, respectivamente ...

Enunciado:
Considere los siguientes cuerpos geométricos en el espacio: a) un cono de $4\,\text{dm}$ de generatriz y $3\,\text{dm}$ de radio de la base; b) un cilindro de $5\,\text{dm}$ de altura y $2\,\text{dm}$ de radio de la base, y, c) un prisma recto de base rectangular cuyas aristas desiguales miden $2\,\text{dm}$, $3\,\text{dm}$ y $4\,\text{dm}$, respectivamente.

Para cada unos de dichos cuerpos haga lo siguiente:
1. Dibuje una figura esquemática del cuerpo geométrico y anote en ella los datos del enunciado
2. Dibuje una figura esquemática del desarrollo plano del cuerpo geométrico y anote en ella los datos del enunciado
3. Calcule el volumen del cuerpo geométrico
4. Calcule el área total del desarrollo plano del cuerpo geométrico

Solución:

1.

2.

3.
Volumen del cono:
$V_{\text{cono}}=\dfrac{1}{3} \cdot \pi\,r^2 \,a = \dfrac{1}{3}\,3^2 \cdot \sqrt{4^2-3^2} \,\pi=\dfrac{1}{3}\,3^2 \cdot \sqrt{7} \,\pi=3\,\sqrt{7}\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 25 \,\text{dm}^3$

Volumen del cilindro:
$V_{\text{cilindro}}=\pi\,r^2 \,a = 2^2 \cdot 5 \,\pi=20\,\pi \,\text{dm}^3 \approx 63 \, \text{dm}^3$

Volumne del prisma de base rectangular:
$V_{\text{prisma}}=2\cdot \cdot 3 \cdot 4 = 24 \, \text{dm}^3$

4.
Área total del desarrollo plano del cono:
$A_{\text{total}}=A_{\text{lateral}}+A_{\text{base}}$
  $=\pi\,r\,g+\pi\,r^2=\pi\cdot 3 \cdot 4 + \pi\cdot 3^2=12\,\pi + 9\,\pi=21\,\pi \approx 66 \, \text{dm}^2$

Área total del desarrollo plano del cilindro:
$A_{\text{total}}=A_{\text{lateral}}+A_{\text{base}}$
  $=2\,\pi\,r\,a+2\,(\pi\,r^2)$
  $=2\cdot \pi\cdot 2 \cdot 5 + 2\,(\pi \cdot 2^2)$
  $=20\,\pi+8\,\pi=28\,\pi\,\text{dm}^2 \approx 88\,\text{dm}^2$

Área total del desarrollo plano del prisma recto de base rectangular:
$A_{\text{total}}=2\,(2\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3 \cdot 4)$ ( suma de las áreas de las tres parejas de caras rectangulares )
  $=2\,(6+8+12)=52\,\text{dm}^2$

$\square$

[nota del autor]