Ejercicio 2 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Área y volumen de un tronco de pirámide cuadrangular

INDICACIÓN. Lee las páginas 238 y 239 del libro base

Ejercicio 11 de la página 239
ENUNCIADO. Calcula el área y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular, sabiendo que la arista de la base mayor mide 16 metros; la arista de la base menor, 12 metros. Y la altura del tronco de pirámide es de 20 metros.

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SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

Ejercicio 4 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Área del desarrollo plano y volumen de un cono

INDICACIÓN. Leed las páginas 234, 235, 236 y 237 de la Unidad 12 del libro base

ENUNCIADO. [Ejercicio 8 de la página 237]

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Hallar el volumen y el área lateral de un cono ...

ENUNCIADO. Considerar un cono de $4$ decímetros de altura y cuya base tiene un radio de $3$ decímetros. Se pide:
a) el volumen del cono
b) la longitud de la generatriz
c) el área lateral del cono
d) el área de la base ( circular ) del cono

SOLUCIÓN.

a)
El volumen del conom, $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$, es igual a $$V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^2$$

b)
Cortando el cono por un plano diametral vemos que en la sección obtenida se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatriz del cono, de catetos el radio de la base y la altura del cono, luego podemos escribir $g^2=h^2+r^2$ ( teorema de Pitágoras ), y poniendo los datos, $$g^2=4^2+3^2=5^2 \Rightarrow g=5\; \text{dm}$$

c)
El área lateral ( del desarrollo del cono ) viene dada por el área del sector circular cuyo ángulo central es proporcional a la longitud de su arco, esto es, a la longitud de la circunferencia de la base, y como hemos visto en clase, es igual a $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g$. Poniendo pues los datos, obtenemos $$A_{\text{lateral}}=\pi\cdot 5 \cdot 3 = 15 \,\pi \; \text{dm}^2$$

d)
El área de la base del cono, que es un círculo, es igual a $A_{\text{base}}=\pi\,r^2$; y, poniendo los datos, obtenemos $$A_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2$$

$\square$

Sean dos esferas; el radio de la primera es el triple que el de la segunda ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu dues esferes $E_1$ i $E_2$. El radi $r_1$ de la primera és tres vegades més gran que el radi $r_2$ de la segona. Quantes vegades és més gran el volum de le primera que el de la segona ? Quantes vegades és més gran l'àrea de la superfície de la primera que la de la segona ?.

Solució:
El volum d'una esfera de radi $r$ es calcula de la següent manera
    $\mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$
i l'àrea de la superfície d'una esfera es calcula fent
    $\mathcal{A}=4\pi\,r^2$

Tenint en compte que
    $\dfrac{r_1}{r_2}=3$
veiem que la raó aritmètica entre els volums és igual a ( simplificant les expressions )
    $\dfrac{\mathcal{V}_1}{\mathcal{V}_2}=\bigg(\dfrac{r_1}{r_2}\bigg)^3=3^3=27$
és a dir, el volum de la primera esfera és $27$ vegades més gran que el de la segona.
I, pel que fa a la raó aritmètica entre les àrees,
    $\dfrac{\mathcal{A}_1}{\mathcal{A}_2}=\bigg(\dfrac{r_1}{r_2}\bigg)^2=3^2=9$
per tant, veiem que l'àrea de la primera esfera és $9$ vegades més gran que el de la segona.

$\square$

[nota del autor]