ENUNCIADO. Considerar un cono de $4$ decímetros de altura y cuya base tiene un radio de $3$ decímetros. Se pide:
a) el volumen del cono
b) la longitud de la generatriz
c) el área lateral del cono
d) el área de la base ( circular ) del cono
SOLUCIÓN.
a)
El volumen del conom, $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$, es igual a $$V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^2$$
b)
Cortando el cono por un plano diametral vemos que en la sección obtenida se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la generatriz del cono, de catetos el radio de la base y la altura del cono, luego podemos escribir $g^2=h^2+r^2$ ( teorema de Pitágoras ), y poniendo los datos, $$g^2=4^2+3^2=5^2 \Rightarrow g=5\; \text{dm}$$
c)
El área lateral ( del desarrollo del cono ) viene dada por el área del sector circular cuyo ángulo central es proporcional a la longitud de su arco, esto es, a la longitud de la circunferencia de la base, y como hemos visto en clase, es igual a $A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g$. Poniendo pues los datos, obtenemos $$A_{\text{lateral}}=\pi\cdot 5 \cdot 3 = 15 \,\pi \; \text{dm}^2$$
d)
El área de la base del cono, que es un círculo, es igual a $A_{\text{base}}=\pi\,r^2$; y, poniendo los datos, obtenemos $$A_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2$$
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lunes, 4 de abril de 2016
lunes, 28 de abril de 2014
Calcular el volumen y el área lateral de un cono de $41\,\text{dm}$ de generatriz y $9\,\text{dm}$ de radio de la base.
Enunciado:
Calcular el volumen y el área lateral de un cono recto, de $41\,\text{dm}$ de generatriz y $9\,\text{dm}$ de radio de la base.
Resolución:
(a) Volumen del cono
Calculamos el volumen con la fórmula $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$ (1) ( donde $r$ es el radio de la base y $h$ la altura del cono ), sin embargo no se dos da directamente el valor de la altura sino el de la generatriz; calculamos el valor de la altura mediante el Teorema de Pitágoras, pues se forma un triángulo rectángulo de catetos $r$ y $h$ e hipotenusa $g$ ( generatriz ) al cortar el cono por un plano diametral perpendicular a la base y que pasa por el vértice, por lo que $h=\sqrt{g^2-r^2}$, esto es, $h=\sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1600}=40\,\text{dm}$. Finalmente, sustituyendo en la fórmula (1) obtenemos el volumen pedido: $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot 9^2\cdot40=1080\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 3393\, \text{dm}^3$
(b) Área lateral del cono
Tal como ha sido justificado en otros ejercicios, el área lateral del desarrollo plano de un cono es $A_{lat}=\pi\,r\,g$, y sustituyendo los datos obtenemos $A_{lat}=\pi\cdot 9 \cdot 41 = 369\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 1159 \, \text{dm}^3$
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Calcular el volumen y el área lateral de un cono recto, de $41\,\text{dm}$ de generatriz y $9\,\text{dm}$ de radio de la base.
Resolución:
(a) Volumen del cono
Calculamos el volumen con la fórmula $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$ (1) ( donde $r$ es el radio de la base y $h$ la altura del cono ), sin embargo no se dos da directamente el valor de la altura sino el de la generatriz; calculamos el valor de la altura mediante el Teorema de Pitágoras, pues se forma un triángulo rectángulo de catetos $r$ y $h$ e hipotenusa $g$ ( generatriz ) al cortar el cono por un plano diametral perpendicular a la base y que pasa por el vértice, por lo que $h=\sqrt{g^2-r^2}$, esto es, $h=\sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1600}=40\,\text{dm}$. Finalmente, sustituyendo en la fórmula (1) obtenemos el volumen pedido: $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot 9^2\cdot40=1080\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 3393\, \text{dm}^3$
(b) Área lateral del cono
Tal como ha sido justificado en otros ejercicios, el área lateral del desarrollo plano de un cono es $A_{lat}=\pi\,r\,g$, y sustituyendo los datos obtenemos $A_{lat}=\pi\cdot 9 \cdot 41 = 369\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 1159 \, \text{dm}^3$
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