Una conducción de agua aporta dos litros cada minuto ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una conducció aporta aigua a raó de dos litres cada minut i tarda vint hores a omplir una dipòsit. Disposem també d'una segona conducció que pot aportar cinc litres d'aigua cada dos minuts. Si decidim omplir el dipòsit obrint totes dues conduccions a la vegada, quant de temps caldrà ?.
Nota:   Us demanem que resolgueu el problema sense passar pel calcul preliminar de la capacitat del dipòsit.

Enunciat:
Les magnituds relacionades en aquest problema són el cabal d'aigua, $\mathcal{C}$, que expressa la quantitat d'aigua per unitat de temps, i el temps d'ompliment del dipòsit, $\mathcal{T}$. Ambdues magnituds són proporcionals, i donat que com més aigua per unitat de temps ( cabal ) entra al dipòsit, menys temps caldrà per tenir-lo ple, la proporció entre aquestes dues magnituds és inversa.

Sigui $c$ el valor del cabal de la primera conducció i $c'$ la suma dels cabals de la primera i de la segona; $t$ el valor del temps que necessita la primera conducció per omplir-lo ( tota sola ) i $t'$ el temps que es necessita per tal que totes dues conduccions, obertes a la vegada, omplin el dipòsit. S'escau plantejar la següent proporció:
    $\dfrac{t}{\frac{1}{c}}=\dfrac{t'}{\frac{1}{c'}}$
que, operant a cada membre, també podem expressar de la forma
    $t \cdot c =t' \cdot c'$

Llavors, posant les dades de l'enunciat
    $c=2 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}}$
    $t=20 \, \text{h}=1200 \, \text{min}$
    $c'=\bigg(2+\dfrac{5}{2} \bigg) \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}}=4,5 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}}$
    $t'=\text{?}$
podem escriure la següent equació
    $t'=\dfrac{1200\cdot 2}{4,5}$
        $= 533.\bar{3} \; \text{min}$
        $\approx 8 \, \text{h} \; 52 \, \text{min}$

Observació/comprovació del resultat:   Havent arribat ja a la solució, sí que és interessant, ara, resoldre el problema calculant en primer lloc la capacitat del dipòsit i, a partir, d'aquest resultat preliminar i del cabal total, comprovar si el resultat obtingut coincideix amb el que hem obtingut respectant el requeriment de la nota de l'enunciat.
La capacitat del dipòsit l'obtenim amb les dades de la primera conducció i és igual a
    $2 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}} \cdot 1200 \, \text{min}=2400 \, \text{l}$
Llavors, tenint en compte que el cabal, amb les dues conduccions, és
    $4,5 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}}$
el temps que caldrà per omplir el dipòsit amb les dues conduccions obertes a la vegada serà de
    $2400 \, \text{l} \div 4,5 \, \dfrac{\text{l}}{\text{min}} = 533,\bar{3} \, \text{min}$
i que coicideix, efectivament, amb el resultat anterior.

$\square$

[nota del autor]