Considérese un triángulo rectángulo de vértices ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu un triangle rectangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$, tal que $\angle{ABC}=90^{\circ}$. Sabem que la longitud del catet $a$ és igual a $2\,\text{cm}$, i, que la longitud del segment perpendicular a la hipotenusa que passa per $B$ i que és secant a la hipotenusa en el punt $P$ ( que anomenarem $h$ ) mesura $1\, \text{cm}$. Calculeu l'àrea del triangle.

Solució:
Traçant l'altura que passa per $B$ i que talla a la hipotenusa en $P$, el triangle rectangle donat queda dividit en dos triangles rectangles: $\triangle{BCP}$ i $\triangle{ABP}$ ( feu vosaltres la figura ). Llavors, segons el teorema de l'altura aplicat al triangle $\triangle{ABC}$ podem escriure
    $h^2=n\,m$
i, atès que $h=1\,\text{cm}$, queda
    $1=n\,m \quad \quad (1)$
on ja hem dit que $h$ és la longitud del segment $BP$, i, $m$ i $n$ representen els dos segments amb què el punt $P$ divideix la hipotenusa $b$. Observem que $m$ representa la projecció del catet $c$ sobre la hipotenusa $b$, i, $n$ és la projecció de l'altre catet, $a$.
Per altra banda, aplicant el teorema del catet, podem escriure
    $2^2=n\,(n+m)$
és a dir
    $4=n^2+n\,m \quad \quad (2)$
Substituint (1) en (2), arribem a
    $4=n^2+1$
i d'aquí
    $n^3=3$
d'on treiem la longitud d'aquesta projecció del catet de longitud $2$
    $n=\sqrt{3} \, \text{cm}$
llavors, posant aquest resultat en (1), podem calcular el valor que li correspon a $m$, que és
    $m=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}$
I, per tant, ja podem calcular l'àrea, fent:
    $\mathcal{A}=\dfrac{(m+n)\,h}{2}$
      $= \dfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot \bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}\bigg)$
i, operant i simplificant, queda
    $\mathcal{A}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{4}{3}$
        $=\dfrac{2}{3}\,\sqrt{3} \, \text{cm}^2$
        $\approx 1 \,\text{cm}^2$

$\square$

[nota del autor]