Ejercicio 1 de la semana del 12 al 15 de marzo

ENUNCIADO. Al trazar la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ésta queda dividida en dos segmentos de longitudes 4 y 5 decímetros, respectivamente. Calcula el área y el perímetro de dicho triángulo.

SOLUCIÓN.

Justificación de los teoremas de la altura, del cateto, y de Pitágoras

Ejercicios resueltos de aplicación de los teoremas de Pitágoras, de la altura, y del cateto ( lista de reproducción de vídeos )

Los teoremas de la altura y del cateto como casos de una media proporcional

En un triángulo rectángulo $\triangle(A,B,C)$ se cumple el teorema de la altura, el del cateto y el de Pitágoras. Sea $c$ la hipotenusa y denotemos por $h$ la altura sobre la misma. La intersección de la altura con la hipotenusa $c$ ( llamemos $P$ a ese punto ) divide a la hipotenusa en dos segmentos, $[P,B]$ de longitud $m$ ( proyección del cateto $a$ sobre $c$ ) y $[P,A]$, de longitud $n$ (proyección del cateto $b$ sobre $c$ ).

Los teoremas del cateto y de la altura son casos de media proporcional. En efecto, como $\triangle(P,B,C) \sim \triangle(A,P,C)$, se tiene que $\dfrac{h}{m}=\dfrac{n}{h}$, y, por tanto, $h=\sqrt{m\cdot n}$

Por otra parte ( teorema del cateto ) como $\triangle(P,B,C) \sim \triangle(A,B,C)$, podemos plantear $\dfrac{a}{m}=\dfrac{c}{a}$, y por tanto, $a^2=m\,c$; y, teniendo en cuenta que $\triangle(A,P,C) \sim \triangle(A,B,C)$, tenemos que $\dfrac{b}{n}=\dfrac{c}{b}$, con lo cual $b^2=n\,c$
$\square$

Aplicación de los teoremas de la altura y del cateto en un triángulo rectángulo

ENUNCIADO. Considerar el siguiente triángulo rectángulo: la hipotenusa mide $3$ decímetros y uno de los segmentos en que ésta queda dividida al trazar la altura (que pasa por el vértice opuesto a la misma) tiene una longitud de $1$ decímetro. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del triángulo y denominar sus elementos, anotando los datos del enunciado.
b) Calcular el área del triángulo.
c) Calcular el perímetro del triángulo.

SOLUCIÓN. Este ejercicio es muy parecido a [este otro]. Ruego al lector que lo reproduzca con las pequeñas variaciones en los datos del presente ejercicio.

Cálculo de diversas magnitudes en un triángulo rectángulo, empleando los siguientes teoremas: de Pitágoras, de la altura, y del cateto

ENUNCIADO. Al trazar la altura a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ésta queda dividida en dos segmentos de $1$ y $2$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo

SOLUCIÓN.

Triángulos rectángulos. Aplicación de los teoremas de la altura y del cateto

ENUNCIADO. Al trazar la altura a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ésta queda dividida en dos segmentos de $2$ y $3$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo

SOLUCIÓN.

Triángulos rectángulos. Toremas de Pitágoras, del cateto y de la altura.

ENUNCIADO.
Explicar qué afirman los siguientes teoremas y para qué tipo de triángulos son ciertas dichas afirmaciones:
a) teorema de Pitágoras
b) teorema de la altura
c) teorema del cateto

Sugerencia: Dibujar las figuras que ayuden a la explicación.

Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Les projececcions sobre la hipotenusa dels catets $a$ i $b$ del triangle rectangle $\triangle \; ABC$ mesuren $1 \; \text{m}$ i $2 \; \text{m}$, respectivament. Feu un dibuix esquemàtic del triangle i calculeu:
    a) l'àrea del triangle
    b) el perímetre del triangle

Resolució:

  a)
Calcularem l'àrea fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{(2+1) \cdot h}{2} \quad \quad (1)$
Per calcular $h$ farem ús del teorema de l'altura
    $h^2=2\cdot 1$ i, per tant, $h=\sqrt{2} \, \text{m}$
Llavors, substituint aquest resultat a l'expressió (1)
    $\mathcal{A}=\dfrac{3 \cdot \sqrt{2}}{2} \, \text{m}^2$
que, aproximant per arrodoniment
    $\mathcal{A} \approx 2 \, \text{m}^2$
$\square$

  b)
El perímetre (suma de les longituds dels tres costats) és igual a
$\mathcal{P}=3+a+b \quad \quad (2)$

Calcularem $a$ i $b$ fent ús del teorema del catet:

$a^2=1 \cdot (2+1)$
i, per tant,
$a=\sqrt{3} \, \text{m}$

$b^2=2 \cdot (2+1)$
llavors,
$b=\sqrt{6} \, \text{m}$

Substituint aquests resultats a l'expressió (2), trobem
$\mathcal{P}=3+\sqrt{3}+\sqrt{6} \, \text{m}$
que, aproximant per arrodoniment, queda
$\mathcal{P} \approx 7 \text{m}$

$\square$

[nota del autor]

Calcular el área y el perímetro del triángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un dels catets d'un triangle rectangle mesura $3 \; \text{m}$, i la longitud de la seva projecció sobre la hipotenusa és igual a $2 \; \text{m}$. Feu un dibuix esquemàtic del triangle i calculeu:
    a) l'àrea del triangle
    b) el perímetre del triangle

Resolució:

  a)
Calcularem l'àrea fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{3 \cdot b}{2} \quad \quad (1)$
Per calcular $b$ farem ús del teorema catet
    $b^2=(2+m)\cdot m \quad \quad (2)$

i, per calcular $m$, tornarem a fer ús del teorema del catet (amb l'altre catet i la corresponent projecció sobre la hipotenusa, és clar)
$3^2=(2+m)\cdot 2$
per tant
$m=\dfrac{5}{2} \, \text{m}$
Substituint aquest resultat a l'expressió (2) trobem
    $b^2=(2+\dfrac{5}{2})\cdot \dfrac{5}{2}$
és a dir
    $b^2=\dfrac{45}{4}$
i, per tant,
    $b=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \, \text{m}$

Finalment, posant el valor de $b$ a l'expressió (1), arribem a

    $\mathcal{A}=\dfrac{9 \, \sqrt{5}}{4} \, \text{m}^2$

que, aproximant per arrodoniment, queda

    $\mathcal{A}\approx 5 \, \text{m}^2$

$\square$

  b)
El perímetre (suma de les longituds dels tres costats) és igual a
$\mathcal{P}=(2+m)+3+b \quad \quad (2)$

Substituint els resultats de $m$ i $b$ (que ha hem calculat) en aquesta expressió trobem el següent resultat

$\mathcal{P}=\big(2+\dfrac{5}{2}\big)+3+ \dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \, \text{m}$

operant i aproximant (per arrodoniment) obtenim

$\mathcal{P}\approx 11 \, \text{m}$

$\square$

[nota del autor]

Considérese un triángulo rectángulo de vértices ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu un triangle rectangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$, tal que $\angle{ABC}=90^{\circ}$. Sabem que la longitud del catet $a$ és igual a $2\,\text{cm}$, i, que la longitud del segment perpendicular a la hipotenusa que passa per $B$ i que és secant a la hipotenusa en el punt $P$ ( que anomenarem $h$ ) mesura $1\, \text{cm}$. Calculeu l'àrea del triangle.

Solució:
Traçant l'altura que passa per $B$ i que talla a la hipotenusa en $P$, el triangle rectangle donat queda dividit en dos triangles rectangles: $\triangle{BCP}$ i $\triangle{ABP}$ ( feu vosaltres la figura ). Llavors, segons el teorema de l'altura aplicat al triangle $\triangle{ABC}$ podem escriure
    $h^2=n\,m$
i, atès que $h=1\,\text{cm}$, queda
    $1=n\,m \quad \quad (1)$
on ja hem dit que $h$ és la longitud del segment $BP$, i, $m$ i $n$ representen els dos segments amb què el punt $P$ divideix la hipotenusa $b$. Observem que $m$ representa la projecció del catet $c$ sobre la hipotenusa $b$, i, $n$ és la projecció de l'altre catet, $a$.
Per altra banda, aplicant el teorema del catet, podem escriure
    $2^2=n\,(n+m)$
és a dir
    $4=n^2+n\,m \quad \quad (2)$
Substituint (1) en (2), arribem a
    $4=n^2+1$
i d'aquí
    $n^3=3$
d'on treiem la longitud d'aquesta projecció del catet de longitud $2$
    $n=\sqrt{3} \, \text{cm}$
llavors, posant aquest resultat en (1), podem calcular el valor que li correspon a $m$, que és
    $m=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}$
I, per tant, ja podem calcular l'àrea, fent:
    $\mathcal{A}=\dfrac{(m+n)\,h}{2}$
      $= \dfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot \bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}\bigg)$
i, operant i simplificant, queda
    $\mathcal{A}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{4}{3}$
        $=\dfrac{2}{3}\,\sqrt{3} \, \text{cm}^2$
        $\approx 1 \,\text{cm}^2$

$\square$

[nota del autor]

Sea un triángulo rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
D'un triangle rectangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$, tal que $\angle{ABC}=90^{\circ}$, sabem que la longitud del catet $c$ és igual a $4\,\text{cm}$, i, que la projecció sobre la hipotenusa de l'altre catet, $a$, té una longitud de $3\, \text{cm}$. Calculeu-ne l'àrea.

Solució:
Traçant l'altura que passa per $B$ i que talla a la hipotenusa en $P$, el triangle rectangle donat queda dividit en dos triangles rectangles: $\triangle{BCP}$ i $\triangle{ABP}$ ( feu vosaltres la figura ). Llavors, segons el teorema de l'altura aplicat al triangle $\triangle{ABC}$ podem escriure
    $h^2=3\,m \quad \quad (1)$
on $h$ és la longitud del segment $BP$ i $m$ és la projecció de l'altre catet ( de longitud $4 \, \text{cm}$ ) sobre la hipotenusa $b$ de $\triangle{ABC}$. Per altra banda, aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{ABP}$ podem escriure
    $h^2+m^2=4^2 \quad \quad (2)$
Substituint (1) en (2), i simplificant, arribem a
    $m=\dfrac{4}{\sqrt{10}} \, \text{cm}$
i, posant aquest resultat a (1) i desfent el quadrat (extraient l'arrel quadrada), trobem
    $h=\sqrt{3\cdot \dfrac{4}{\sqrt{10}}} = \sqrt{\dfrac{12}{\sqrt{10}}} \, \text{cm}$
Ara, doncs, ja podem calcular l'àrea:
    $\mathcal{A}=\dfrac{(m+3)\,h}{2}$
      $= \dfrac{1}{2}\,\bigg(\dfrac{4}{\sqrt{10}}+3\bigg)\cdot \sqrt{\dfrac{12}{\sqrt{10}}}$
i, operant i simplificant, queda
    $\mathcal{A}\approx 4\, \text{cm}^2$

Nota: prenem el resultat de les arrels quadrades en valor absolut
$\square$

[nota del autor]

Considérese el triángulo rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu un triangle rectangle $\triangle{ABC}$. Un dels catets, $c$, mesura $3\,\text{cm}$; la seva projecció, $n$, sobre la hipotenusa, $b$, mesura $2\,\text{cm}$. Calculeu l'àrea i el perímetre del triangle rectangle.

Solució:
La recta perpendicular a la hipotenusa que passa per $B$ divideix el triangle $\triangle{ABC}$ en dos triangles rectangles: $\triangle{ABP}$ i $\triangle{BCP}$, on $P$ és el punt que es troba sobre la hipotenusa, sota la vertical de $B$. Anomenem $h$ a la distància entre $B$ i $P$.

Llavors, aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{ABP}$, podrem calcular el valor de $h$:
    $h^2+2^2=3^2 \Rightarrow h=\sqrt{5} \, \text{cm}$

Pel teorema de l'altura ( triangle $\triangle{ABC}$ ) podem escriure
    $2\,m= h^2$
és a dir
    $2\,m= 5$
i, d'aquí, trobem
    $2m= \dfrac{5}{2}\, \text{cm}$
amb la qual cosa sabem que
    $b=2+\frac{5}{2}=\dfrac{9}{2}\,\text{cm}$

Ara, ja podem calcular l'àrea del triangle $\triangle{ABC}$, fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\,b\,h$
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{2}\,\sqrt{5}$
      $=\dfrac{9\,\sqrt{5}}{4}\,\text{cm}^2$
      $\approx 5 \,\text{cm}^2$

Finalment, per calcular el perímetre $\mathcal{P}$, ens cal calcular el valor de $a$, que trobarem aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{BCP}$
    $\big(\dfrac{5}{2}\big)^2+(\sqrt{5})^2=a^2 \Rightarrow a=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \,\text{cm}$

Fet això, tenim que
    $\mathcal{P}=a+b+c$
      $=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2}+\dfrac{9}{2}+3$
      $=\dfrac{3}{2}\,(5+\sqrt{5})\,\text{cm}$
      $\approx 11 \,\text{cm}$

$\square$

[nota del autor]

Considerar el triángulo rectángulo ...

Enunciado:
Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática:

Sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son $PB=2 \,\text{cm}$ y $PA=10\,\text{cm}$, calcúlese el área y el perímetro del triángulo.

Resolución:

(a) Área del triángulo:
Podemos calcular el área del triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ multiplicando $c$ ( que es igual a $\text{PA}+\text{PB}=12\,\text{cm}$ ) por la altura correspondiente a dicho lado, que es $h$ y dividiendo por $2$; sin embargo, no conocemos el valor de $h$. Debemos, pues, calcularla; por el Teorema de la altura tenemos $\text{PA}\cdot \text{PB}=h^2$, esto es, $10\cdot 2 = h^2$, luego $h=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}= 2\,\sqrt{5}\,\text{cm}$. Así, pues, $\text{Área}=\dfrac{12 \cdot 2\,\sqrt{5} }{2}=12\,\sqrt{5} \approx 27 \, \text{cm}^2$

(b) Perímetro del triángulo:
El perímetro del triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ es la suma de sus tres lados, esto es, $\text{Perímetro}=a+b+c$   (1). Conocemos cuánto vale $c$ ( que es $12\,\text{cm}$ ) pero no conocemos, directamente, ni $a$ ni $b$; sin embargo, podemos calcular éstos mediante el Teorema del Cateto: $a^2=\text{PB}\cdot c = 2 \cdot 12 = 24$, luego $a= \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{6}=2\,\sqrt{6} \,\text{cm}$, y, de forma análoga, $b^2=\text{PA}\cdot c = 10 \cdot 12 = 120$, luego $b= \sqrt{120}=\sqrt{4\cdot 30}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{30}=2\,\sqrt{30} \,\text{cm}$. Así, pues, de (1) tenemos: $\text{Perímetro}=2\,\sqrt{6}+2\,\sqrt{30}+12 \, \text{cm} \approx 28 \, \text{cm}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática (...)

Enunciado:
Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática:

Sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son $\overline{PB}=4 \,\text{cm}$ y $\overline{PA}=25\,\text{cm}$, ¿ cuál es su área ?.

Resolución:
Por el Teorema de Pitágora, la altura correspondiente al lado que corresponde a la hipotenusa del triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos, esto es: $h=\sqrt{4\cdot 25}=10$. Luego el área del triángulo es igual a $\dfrac{(25+4)\cdot 10}{2}=145\,\text{m}^2$
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[nota del autor]

Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$

Enunciado:
Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$

Resolución:
El perímetro del triángulo $\triangle{\{A,B,C\}}$ es igual a la suma de las longitudes de sus lados, y, por tanto, es $a+b+c$; conocemos el valor de $c$, que es $3+2=5\,\text{cm}$; nos faltan, sin embargo, las longitudes de los catetos $a$ y $b$, que determinaremos a partir del Teorema del Cateto, aplicado a cada uno de los dos triángulos rectángulos en que queda dividido el triángulo rectángulo dado ( $\triangle{\{A,B,C\}}$ ).

Así, pues, por el Teorema del Cateto: $a^2=c \cdot \overline{PB}$, y con los datos del problema, $a^2=2\cdot 5$, luego $a=\sqrt{10}\,\text{cm}$

Y de manera análoga, $b^2=c \cdot \overline{PA}$, y con los datos del problema, $b^2=3\cdot 5$, luego $a=\sqrt{15}\,\text{cm}$

Luego, poniendo estos valores que acabamos de calcular en la expresión del perímetro, encontramos $\text{Perímetro}=5+\sqrt{15}+\sqrt{10} \,\text{cm}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular el área del triángulo rectángulo de la figura, sabiendo que $\overline{PC}=2 \,\text{cm}$ y $\overline{BC}=4\,\text{cm}$

Enunciado:
Calcular el área del triángulo rectángulo de la figura, sabiendo que $\overline{PC}=2 \,\text{cm}$ y $\overline{BC}=4\,\text{cm}$

Resolución:
Tomando $b$ como base del triángulo, y, por tanto, $h$ como su altura, podemos calcular el área del triángulo de la forma $$\text{Área}=\dfrac{b\cdot h}{2}$$
con lo cual deberemos calcular el valor de $b$ y el valor de $h$, cosa que llevaremos a cabo teniendo en cuenta que $\triangle{\{A,B,C\}}$ es, según la figura ( uno de los ángulos del triángulo es un a. recto: el a. de vértice $B$ ), un triángulo rectángulo.

Por el Teorema del Cateto: $a^2=b \cdot \overline{PC}$, y con los datos del problema, $4^2=2\,b$; de aquí deducimos $b=8\,\text{cm}$

Teniendo en cuenta, ahora, el Teorema de la Altura: $\overline{AP} \cdot \overline{PC}=h^2$. Poniendo, ahora, los datos del problema, nos queda: $6 \cdot 2 = h^2$. De aquí, deducimos $h=\sqrt{12}=2\,\sqrt{3} \,\text{cm}$

Luego, poniendo estos valores que acabamos de calcular en la expresión del área, encontramos $\text{Área}=\dfrac{b \cdot h}{2}=\dfrac{(6+2) \cdot 2\,\sqrt{3} }{2}=8\,\sqrt{3}\,\text{cm}^2$

$\blacksquare$

[nota del autor]