Los teoremas de la altura y del cateto como casos de una media proporcional

En un triángulo rectángulo $\triangle(A,B,C)$ se cumple el teorema de la altura, el del cateto y el de Pitágoras. Sea $c$ la hipotenusa y denotemos por $h$ la altura sobre la misma. La intersección de la altura con la hipotenusa $c$ ( llamemos $P$ a ese punto ) divide a la hipotenusa en dos segmentos, $[P,B]$ de longitud $m$ ( proyección del cateto $a$ sobre $c$ ) y $[P,A]$, de longitud $n$ (proyección del cateto $b$ sobre $c$ ).

Los teoremas del cateto y de la altura son casos de media proporcional. En efecto, como $\triangle(P,B,C) \sim \triangle(A,P,C)$, se tiene que $\dfrac{h}{m}=\dfrac{n}{h}$, y, por tanto, $h=\sqrt{m\cdot n}$

Por otra parte ( teorema del cateto ) como $\triangle(P,B,C) \sim \triangle(A,B,C)$, podemos plantear $\dfrac{a}{m}=\dfrac{c}{a}$, y por tanto, $a^2=m\,c$; y, teniendo en cuenta que $\triangle(A,P,C) \sim \triangle(A,B,C)$, tenemos que $\dfrac{b}{n}=\dfrac{c}{b}$, con lo cual $b^2=n\,c$
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