Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$

Enunciado:
Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$

Resolución:
El perímetro del triángulo $\triangle{\{A,B,C\}}$ es igual a la suma de las longitudes de sus lados, y, por tanto, es $a+b+c$; conocemos el valor de $c$, que es $3+2=5\,\text{cm}$; nos faltan, sin embargo, las longitudes de los catetos $a$ y $b$, que determinaremos a partir del Teorema del Cateto, aplicado a cada uno de los dos triángulos rectángulos en que queda dividido el triángulo rectángulo dado ( $\triangle{\{A,B,C\}}$ ).

Así, pues, por el Teorema del Cateto: $a^2=c \cdot \overline{PB}$, y con los datos del problema, $a^2=2\cdot 5$, luego $a=\sqrt{10}\,\text{cm}$

Y de manera análoga, $b^2=c \cdot \overline{PA}$, y con los datos del problema, $b^2=3\cdot 5$, luego $a=\sqrt{15}\,\text{cm}$

Luego, poniendo estos valores que acabamos de calcular en la expresión del perímetro, encontramos $\text{Perímetro}=5+\sqrt{15}+\sqrt{10} \,\text{cm}$

$\blacksquare$

[nota del autor]