Enunciado:
Sea el segmento AB, cuyos extremos son A(5,5) y B(5,6). Construir el giro antihorario del segmento AB, siendo el centro del giro el punto O(0,0) y la amplitud del giro de 45^{\circ}. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos A' y B' del segmento imagen A'B' ?.
Resolución:
Las coordenadas del punto A', que se encuentra sobre el eje Oy, son A'(0\,,\,5\,\sqrt{2} ya que, al tener el radio de giro longitud igual a \sqrt{5^2+5^2} ( Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo que se configura a partir de la abscisa y la ordenada del punto A ), simplificando, obtenemos \sqrt{2\cdot 25}=5\,\sqrt{2}.
Se acepta, como resultado, anotar las coordenadas de los puntos extremos del segmento imagen, esto es, la simple lectura/medida aproximada de las coordenadas sobre el diagrama cartesiano. Así, podemos aceptar en buena aproximación el siguiente resultado: A'(0\,,\,7'1) y B'(-0'7\,,\,7'8).
Nota ( Ampliación ): Podemos, sin embargo, obtener las coordenadas exactas si razonamos un poco empleando el Teorema de Pitágoras y visualizamos el triángulo rectángulo isósceles que forma el segmento b' con sus proyecciones horizontal y vertical. Veamos, pues, cuáles son esas coordenadas exactas del punto B'; para ello, observemos que el segmento b' ( imagen de b ) forma un ángulo de 45^{\circ} con el eje Oy, y que, por tanto, al tener dicho segmento longitud igual a 1 y configurarse un triángulo rectángulo isósceles, las proyecciones de dicho segmento sobre los ejes miden lo mismo ( llamemos k a dicha longitud ); aplicando, ahora, el Teorema de Pitágoras a dicho triángulo rectángulo isósceles, debe cumplirse k^2+k^2=1, luego k=1/\sqrt{2}, luego ( de acuerdo con lo observado en la figura ) y_{B'}=y_{A}+1/\sqrt{2}=5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2}. La abscisa de B', será negativa, pues B' se encuentra en el segundo cuadrante, y, en valor absoluto debe ser igual a la proyección horizontal de b', que es 1/\sqrt{2}, por tanto x_{B'}=-1/\sqrt{2}. Resumiendo, los puntos extremos del segmento imagen son: A'(0\,,\,5\,\sqrt{2}) y B'(-1/\sqrt{2}\,,\,5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2}).
\blacksquare
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