Construir el giro de un segmento ...

ENUNCIADO. Sea el segmento del plano cuyos extremos, $A$ y $B$, tienen las siguientes coordenadas: $A(0,0)$ y $B(-1,1)$. Construir (con regla, compás y transportador de ángulos) el giro de dicho segmento con las siguientes especificaciones: centro de giro $C(4,0)$; sentido del giro: el de las agujas del reloj; amplitud de giro: $90^{\circ}$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos extremos resultantes $A'$ y $B'$ ?.

SOLUCIÓN.

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Aplicar un giro al segmento ...

ENUNCIADO. Sea el segmento del plano cuyos extremos, $A$ y $B$, tienen las siguientes coordenadas: $A(0,0)$ y $B(1,1)$. Construir (con regla, compás y transportador de ángulos) el giro de dicho segmento con las siguientes especificaciones: centro de giro $C(3,0)$; sentido del giro: el de las agujas del reloj; amplitud de giro: $90^{\circ}$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos extremos resultantes $A'$ y $B'$ ?.

SOLUCIÓN.

Del gráfico, vemos que las coordenadas de los puntos resultantes del giro son $A'(3,3)$ y $B'(4,2)$
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Construir un giro tal que ...

ENUNCIADO.
Construir un giro de centro el punto $P(3,0)$, de ángulo $180^{\circ}$, y en el sentido de las agujas del reloj del rectángulo cuyos vértices son los puntos $A(0,0)$, $B(-1,0)$, $C(-1,1)$ y $D(1,1)$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos imagen $A',B',C'$ y $D'$ ?.

SOLUCIÓN.

Los vértices de un triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ son los puntos del plano cartesiano $O(0,0)$, $P(3,0)$ y $Q(3,1)$. Construir un el giro de sentido antihorario de centro $O(0,0)$ y amplitud de giro igual a $90^{\circ}$ y, a continuación, decir las coordenadas de los vértices del triángulo resultante.

Enunciado:
Los vértices de un triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ son los puntos del plano cartesiano $O(0,0)$, $P(3,0)$ y $Q(3,1)$. Construir un el giro de sentido antihorario de centro $O(0,0)$ y amplitud de giro igual a $90^{\circ}$ y, a continuación, decir las coordenadas de los vértices del triángulo resultante.

Resolución:

Después de construir el giro ( figura ) observamos que: $P'(0,3)$ y $Q'(-1,3)$, y el vértice $O(0,0)$, al coincidir con el centro de giro, es invariante.
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[nota del autor]

Sea el segmento $AB$, cuyos extremos son $A(5,5)$ y $B(5,6)$. Construir el giro antihorario del segmento $AB$, siendo el centro del giro el punto $O(0,0)$ y la amplitud del giro de $45^{\circ}$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento imagen $A'B'$ ?.

Enunciado:
Sea el segmento $AB$, cuyos extremos son $A(5,5)$ y $B(5,6)$. Construir el giro antihorario del segmento $AB$, siendo el centro del giro el punto $O(0,0)$ y la amplitud del giro de $45^{\circ}$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento imagen $A'B'$ ?.

Resolución:

Las coordenadas del punto $A'$, que se encuentra sobre el eje $Oy$, son $A'(0\,,\,5\,\sqrt{2}$ ya que, al tener el radio de giro longitud igual a $\sqrt{5^2+5^2}$ ( Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo que se configura a partir de la abscisa y la ordenada del punto $A$ ), simplificando, obtenemos $\sqrt{2\cdot 25}=5\,\sqrt{2}$.

Se acepta, como resultado, anotar las coordenadas de los puntos extremos del segmento imagen, esto es, la simple lectura/medida aproximada de las coordenadas sobre el diagrama cartesiano. Así, podemos aceptar en buena aproximación el siguiente resultado: $A'(0\,,\,7'1)$ y $B'(-0'7\,,\,7'8)$.


Nota ( Ampliación ):   Podemos, sin embargo, obtener las coordenadas exactas si razonamos un poco empleando el Teorema de Pitágoras y visualizamos el triángulo rectángulo isósceles que forma el segmento $b'$ con sus proyecciones horizontal y vertical. Veamos, pues, cuáles son esas coordenadas exactas del punto $B'$; para ello, observemos que el segmento $b'$ ( imagen de $b$ ) forma un ángulo de $45^{\circ}$ con el eje $Oy$, y que, por tanto, al tener dicho segmento longitud igual a $1$ y configurarse un triángulo rectángulo isósceles, las proyecciones de dicho segmento sobre los ejes miden lo mismo ( llamemos $k$ a dicha longitud ); aplicando, ahora, el Teorema de Pitágoras a dicho triángulo rectángulo isósceles, debe cumplirse $k^2+k^2=1$, luego $k=1/\sqrt{2}$, luego ( de acuerdo con lo observado en la figura ) $y_{B'}=y_{A}+1/\sqrt{2}=5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2}$. La abscisa de $B'$, será negativa, pues $B'$ se encuentra en el segundo cuadrante, y, en valor absoluto debe ser igual a la proyección horizontal de $b'$, que es $1/\sqrt{2}$, por tanto $x_{B'}=-1/\sqrt{2}$. Resumiendo, los puntos extremos del segmento imagen son: $A'(0\,,\,5\,\sqrt{2})$ y $B'(-1/\sqrt{2}\,,\,5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2})$.

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[nota del autor]