Ejercicio 3 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril - Movimientos en el plano. Giros

Ejercicio 7 (ligeramente modificado) de la página 219 del libro base
ENUNCIADO. Aplica al rombo de la figura un giro en el sentido de las agujas del reloj de 90º de amplitud angular, con respecto del punto O.

INDICACIÓN. Lee las páginas 218 y 219 de la Unidad 11 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

CORRECCIÓN DE ERROR DE DICCIÓN. Al final del vídeo, llamo por error "triángulo" al rombo. Es evidente que, por las pegas del directo, este tipo de errores a veces ocurren. Disculpas.

Un exercici de moviments en el pla

Aplicamos a un punto del plano dos traslaciones sucesivas ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Apliquem al punt del pla $P(2,-3)$ dues translacions successives, de vectors respectius $\vec{t}_1=(-3,7)$ i $\vec{t}_2=(5,-1)$. Calculeu les coordenades del punt imatge $P^{'}$.

Solució:
L'aplicació successiva de les dues translacions es pot expressar amb una sola, de vector de translació igual a la suma $\vec{t}=\vec{t}_1+\vec{t}_2$ que té les següents components $(-3,7)+(5,-1)=\big(-3+5,7+(-1)\big)=(2,6)$

Llavors, les coordenades del punt resultant de la translació es calculen fent la suma de vectors
    $\vec{OP^{'}}=\vec{OP}+\vec{t}=(2,-3)+(2,6)=(2+2,-3+6)=(4,3)$
on
    $\vec{OP}$ és el vector de posició del punt objecte $P$
    $\vec{OP^{'}}$ és el vector de posició del punt imatge $P^{'}$

És a dir,
    $P^{'}_x=4$
    $P^{'}_y=3$
$\square$

[nota del autor]

Sobre isometrías y homotecias (...) Responder de forma concisa ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Doneu una resposta concisa ( breu i clara): a) Tipus d'isometries ( o moviments ) en el pla; b) Quina diferència hi ha entre una isometria ( o moviment ) i una homotècia ?; c) Quina transformació s'obté de composar una isometria ( moviment ) amb una homotècia ?.

Solució:
a)
Les isometries o moviments poden ser: translacions, girs, i simetries ( respecte d'una recta, o també, respecte d'un punt ).

b)
Una isometria conserva la forma de la figura i també la grandària; una homotècia, però, per bé que conservi la forma, canvia la grandària ( redueix o bé amplia ) si la raó de l'homotècia $k$ és diferent de $\pm 1$.

c)
El resultat de composar una isometria amb una homotècia és una semblança, una figura de la mateixa forma que l'original ( però: traslladada, girada, o transformada segons una simetria de mirall ), que conserva la forma, però no necessàriament la grandària.

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio con traslaciones en el plano. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Considereu el triangle $\triangle{MNP}$ de vèrtexs: $M(0,0)$, $N(0,1)$ i $P(1,0)$. Calculeu les coordenades dels vèrtexs del triangle $\triangle{M'N'P'}$ que resulta de traslladar el triangle $\triangle{MNP}$ segons el vector de translació $\vec{t}=(3,-4)$

Solució:
a)
Coordenades de $M'(x_{M'},y_{M'})$:
    $x_{M'}=x_{M}+t_x$
              $=0+3=3$
    $y_{M'}=y_{M}+t_y$
              $=0+(-4)=-4$
per tant
    $M(0,0) \overset{{\vec{t}}}{\rightarrow} M'(3,-4)$

b)
Coordenades de $N'(x_{N'},y_{N'})$:
    $x_{N'}=x_{N}+t_x$
              $=0+3=3$
    $y_{N'}=y_{N}+t_y$
              $=1+(-4)=-3$
per tant
    $N(0,1) \overset{{\vec{t}}}{\rightarrow} N'(3,-3)$

c)
Coordenades de $P'(x_{M'},y_{P'})$:
    $x_{P'}=x_{P}+t_x$
              $=1+3=4$
    $y_{P'}=y_{P}+t_y$
              $=0+(-4)=-4$
per tant
    $P(1,0) \overset{{\vec{t}}}{\rightarrow} P'(4,-4)$

$\square$

Nota:   El problema també es pot resoldre gràficament tal com es mostra a la figura.

[nota del autor]

Los vértices de un triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ son los puntos del plano cartesiano $O(0,0)$, $P(3,0)$ y $Q(3,1)$. Construir un el giro de sentido antihorario de centro $O(0,0)$ y amplitud de giro igual a $90^{\circ}$ y, a continuación, decir las coordenadas de los vértices del triángulo resultante.

Enunciado:
Los vértices de un triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ son los puntos del plano cartesiano $O(0,0)$, $P(3,0)$ y $Q(3,1)$. Construir un el giro de sentido antihorario de centro $O(0,0)$ y amplitud de giro igual a $90^{\circ}$ y, a continuación, decir las coordenadas de los vértices del triángulo resultante.

Resolución:

Después de construir el giro ( figura ) observamos que: $P'(0,3)$ y $Q'(-1,3)$, y el vértice $O(0,0)$, al coincidir con el centro de giro, es invariante.
$\blacksquare$

[nota del autor]

Los puntos extremos de un segmento son los puntos del plano cartesiano $A(1,0)$ y $B(0,1)$. Construir la traslación de dicho segmento según el vector de traslación $\vec{t}=(5,5)$ y decir cuáles son las coordenadas de los puntos extremos del segmento resultante.

Enunciado:
Los puntos extremos de un segmento son los puntos del plano cartesiano $A(1,0)$ y $B(0,1)$. Construir la traslación de dicho segmento según el vector de traslación $\vec{t}=(5,5)$ y decir cuáles son las coordenadas de los puntos extremos del segmento resultante.

Resolución:
La figura ilustra la construcción de la traslación del segmento $a$ dado por los puntos $A$ y $B$

En el propio gráfico podemos leer las coordenadas de los puntos extremos del segmento que resultan de la traslación: $A'(6,5)$ y $B'(5,6)$.

Nota:
Podemos también conocer las coordenadas de $A'$ y $B'$ sin hacer la construcción, recurriendo al método algebraico: $x'_A=x_A+t_x$ e $y'_B=y_B+t_y$; esto es, $x'_A=1+5=6$ e $y'_B=0+5=5$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Sea el punto $B(3,3)$. ¿ Cuales son las coordenadas del punto imagen $B'$ resulta de aplicar al punto $B$: (a) una simetría respecto del eje de ordenadas; (b) una simetría respecto del eje de abscisas; (c) una simetría respecto del punto $O(0,0)$.

Enunciado:
Sea el punto $B(3,3)$. Determínense las coordenadas del punto imagen $B'$ resulta de aplicar al punto $B$: (a) una simetría respecto del eje de ordenadas; (b) una simetría respecto del eje de abscisas; (c) una simetría respecto del punto $O(0,0)$.

Resolución:

(a)
La simetría ( reflexión ) de $B(x_B,y_B)$ respecto del eje de ordenadas, $Oy$, da el punto $B'(-x_B,y_B)$, es decir, mantiene la ordenada del punto original pero cambia la abscisa del mismo por su opuesto, luego se obtiene el punto $B'(-3,3)$


(b)
La simetría ( reflexión ) de $B(x_B,y_B)$ respecto del eje de abscisas, $Ox$, da el punto $B^{''}(x_B,-y_B)$, es decir, mantiene la abscisa del punto original pero cambia la ordenada del mismo por su opuesto, luego se obtiene el punto $B'(3,-3)$



(c)
La simetría de $B(x_B,y_B)$ central, respecto de $O(0,0)$, da el punto $B^{'''}(-x_B,-y_B)$, es decir, cambia la abscisa del punto original por el opuesto de dicho valor y cambia también la ordenada del mismo por su opuesto, luego se obtiene el punto $B'(-3,-3)$. Observemos que, en general, la simetría central respecto a un centro cualquiera equivale a un giro horario ( o antihorario, indistintamente ) con centro en el centro de simetría y amplitud de giro de $180^{\circ}$

[nota del autor]

Sea el segmento $AB$ de extremos $A(-1,2)$ y $B(1,2)$. Dibujar estos puntos en el plano cartesiano y construir la traslación que viene dada por el vector de traslación $\vec{t}=(2,-4)$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento $A'B'$, que es el resultado de la traslación del segmento $AB$ ?.

Enunciado:
Sea el segmento $AB$ de extremos $A(-1,2)$ y $B(1,2)$. Dibujar estos puntos en el plano cartesiano y construir la traslación que viene dada por el vector de traslación $\vec{t}=(2,-4)$. ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento $A'B'$, que es el resultado de la traslación del segmento $AB$ ?.


Resolución:

Observemos que las coordenadas de $A'$ son $A'(x_A+t_x\,,\,y_A+t_y)$, es decir $A'(-1+2\,,\,2+(-4))$, y, operando, $A'(1\,,\,-2)$
y, por tanto, lo mismo ocurre con todos los otros puntos; así, pues, las coordenadas de $B'$ son $B'(x_B+t_x\,,\,y_B+t_y)$, es decir $B'(1+2\,,\,2+(-4))$ , y, operando, $B'(3\,,\,-2)$

Nota:   Se dará también por buen proceder el anotar, simplemente, la lectura de las coordenadas del los puntos resultantes, $A'$ y $B'$, leyendo/midiendo sobre el diagrama después de construir la traslación con regla y compás; sin embargo, merece mucho el esfuerzo de comprender la relación apuntada arriba, que, naturalmente, se generaliza a todas las traslaciones.

$\blacksquare$

[nota del autor]

Sea el segmento $AB$, cuyos extremos son $A(5,5)$ y $B(5,6)$. Construir el giro antihorario del segmento $AB$, siendo el centro del giro el punto $O(0,0)$ y la amplitud del giro de $45^{\circ}$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento imagen $A'B'$ ?.

Enunciado:
Sea el segmento $AB$, cuyos extremos son $A(5,5)$ y $B(5,6)$. Construir el giro antihorario del segmento $AB$, siendo el centro del giro el punto $O(0,0)$ y la amplitud del giro de $45^{\circ}$. ¿ Cuales son las coordenadas de los puntos $A'$ y $B'$ del segmento imagen $A'B'$ ?.

Resolución:

Las coordenadas del punto $A'$, que se encuentra sobre el eje $Oy$, son $A'(0\,,\,5\,\sqrt{2}$ ya que, al tener el radio de giro longitud igual a $\sqrt{5^2+5^2}$ ( Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo que se configura a partir de la abscisa y la ordenada del punto $A$ ), simplificando, obtenemos $\sqrt{2\cdot 25}=5\,\sqrt{2}$.

Se acepta, como resultado, anotar las coordenadas de los puntos extremos del segmento imagen, esto es, la simple lectura/medida aproximada de las coordenadas sobre el diagrama cartesiano. Así, podemos aceptar en buena aproximación el siguiente resultado: $A'(0\,,\,7'1)$ y $B'(-0'7\,,\,7'8)$.


Nota ( Ampliación ):   Podemos, sin embargo, obtener las coordenadas exactas si razonamos un poco empleando el Teorema de Pitágoras y visualizamos el triángulo rectángulo isósceles que forma el segmento $b'$ con sus proyecciones horizontal y vertical. Veamos, pues, cuáles son esas coordenadas exactas del punto $B'$; para ello, observemos que el segmento $b'$ ( imagen de $b$ ) forma un ángulo de $45^{\circ}$ con el eje $Oy$, y que, por tanto, al tener dicho segmento longitud igual a $1$ y configurarse un triángulo rectángulo isósceles, las proyecciones de dicho segmento sobre los ejes miden lo mismo ( llamemos $k$ a dicha longitud ); aplicando, ahora, el Teorema de Pitágoras a dicho triángulo rectángulo isósceles, debe cumplirse $k^2+k^2=1$, luego $k=1/\sqrt{2}$, luego ( de acuerdo con lo observado en la figura ) $y_{B'}=y_{A}+1/\sqrt{2}=5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2}$. La abscisa de $B'$, será negativa, pues $B'$ se encuentra en el segundo cuadrante, y, en valor absoluto debe ser igual a la proyección horizontal de $b'$, que es $1/\sqrt{2}$, por tanto $x_{B'}=-1/\sqrt{2}$. Resumiendo, los puntos extremos del segmento imagen son: $A'(0\,,\,5\,\sqrt{2})$ y $B'(-1/\sqrt{2}\,,\,5\,\sqrt{2}+1/\sqrt{2})$.

$\blacksquare$

[nota del autor]