Justificación de los teoremas de la altura, del cateto, y de Pitágoras

Ejercicios resueltos de aplicación de los teoremas de Pitágoras, de la altura, y del cateto ( lista de reproducción de vídeos )

Aplicación de los teoremas de la altura y del cateto en un triángulo rectángulo

ENUNCIADO. Considerar el siguiente triángulo rectángulo: la hipotenusa mide $3$ decímetros y uno de los segmentos en que ésta queda dividida al trazar la altura (que pasa por el vértice opuesto a la misma) tiene una longitud de $1$ decímetro. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del triángulo y denominar sus elementos, anotando los datos del enunciado.
b) Calcular el área del triángulo.
c) Calcular el perímetro del triángulo.

SOLUCIÓN. Este ejercicio es muy parecido a [este otro]. Ruego al lector que lo reproduzca con las pequeñas variaciones en los datos del presente ejercicio.

Cálculo de diversas magnitudes en un triángulo rectángulo, empleando los siguientes teoremas: de Pitágoras, de la altura, y del cateto

ENUNCIADO. Al trazar la altura a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ésta queda dividida en dos segmentos de $1$ y $2$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo

SOLUCIÓN.

Calcular el área y el perímetro de un rectángulo tal que ...

ENUNCIADO.
Sea un rectángulo cuya diagonal mide $5$ decímetros, siendo uno de sus lados de longitud igual a $3$ decímetros. Calcular el área y el perímetro de dicho rectángulo.

SOLUCIÓN. La diagonal del rectángulo divide a éste en dos triángulos rectángulos iguales. Tomemos cualquiera de los dos; entonces, el lado de longitud conocida es uno de sus catetos, y, llamando $x$ al otro cateto ( que es el otro lado desigual del rectángulo ), por el teorema de Pitágoras podemos escribir $$5^2=3^2+x^2$$ de donde $$x=\left|\sqrt{5^2-3^2}\right|=4\;\text{dm}$$. Una vez conocidos los lados desiguales del rectángulo, podemos calcular su área fácilmente $$\text{Área}=3\cdot 4=12\; \text{dm}^2$$ Y, también, el perímetro del mismo $$\text{Perímetro}=2\,(3+4)=14\;\text{dm}$$
$\square$

Triángulos rectángulos. Toremas de Pitágoras, del cateto y de la altura.

ENUNCIADO.
Explicar qué afirman los siguientes teoremas y para qué tipo de triángulos son ciertas dichas afirmaciones:
a) teorema de Pitágoras
b) teorema de la altura
c) teorema del cateto

Sugerencia: Dibujar las figuras que ayuden a la explicación.

Demostración "china" del teorema de Pitágoras

Fijémonos en la siguiente figura

Y observemos que $$(a+b)^2=c^2+4\cdot \dfrac{a\,b}{2}$$ Desarrollando el primer miembro y simplificando el segundo $$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$$ esto es $$c^2=a^2+b^2$$, que es a lo que queríamos llegar. $\square$

Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Les projececcions sobre la hipotenusa dels catets $a$ i $b$ del triangle rectangle $\triangle \; ABC$ mesuren $1 \; \text{m}$ i $2 \; \text{m}$, respectivament. Feu un dibuix esquemàtic del triangle i calculeu:
    a) l'àrea del triangle
    b) el perímetre del triangle

Resolució:

  a)
Calcularem l'àrea fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{(2+1) \cdot h}{2} \quad \quad (1)$
Per calcular $h$ farem ús del teorema de l'altura
    $h^2=2\cdot 1$ i, per tant, $h=\sqrt{2} \, \text{m}$
Llavors, substituint aquest resultat a l'expressió (1)
    $\mathcal{A}=\dfrac{3 \cdot \sqrt{2}}{2} \, \text{m}^2$
que, aproximant per arrodoniment
    $\mathcal{A} \approx 2 \, \text{m}^2$
$\square$

  b)
El perímetre (suma de les longituds dels tres costats) és igual a
$\mathcal{P}=3+a+b \quad \quad (2)$

Calcularem $a$ i $b$ fent ús del teorema del catet:

$a^2=1 \cdot (2+1)$
i, per tant,
$a=\sqrt{3} \, \text{m}$

$b^2=2 \cdot (2+1)$
llavors,
$b=\sqrt{6} \, \text{m}$

Substituint aquests resultats a l'expressió (2), trobem
$\mathcal{P}=3+\sqrt{3}+\sqrt{6} \, \text{m}$
que, aproximant per arrodoniment, queda
$\mathcal{P} \approx 7 \text{m}$

$\square$

[nota del autor]

Calcular el área y el perímetro del triángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un dels catets d'un triangle rectangle mesura $3 \; \text{m}$, i la longitud de la seva projecció sobre la hipotenusa és igual a $2 \; \text{m}$. Feu un dibuix esquemàtic del triangle i calculeu:
    a) l'àrea del triangle
    b) el perímetre del triangle

Resolució:

  a)
Calcularem l'àrea fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{3 \cdot b}{2} \quad \quad (1)$
Per calcular $b$ farem ús del teorema catet
    $b^2=(2+m)\cdot m \quad \quad (2)$

i, per calcular $m$, tornarem a fer ús del teorema del catet (amb l'altre catet i la corresponent projecció sobre la hipotenusa, és clar)
$3^2=(2+m)\cdot 2$
per tant
$m=\dfrac{5}{2} \, \text{m}$
Substituint aquest resultat a l'expressió (2) trobem
    $b^2=(2+\dfrac{5}{2})\cdot \dfrac{5}{2}$
és a dir
    $b^2=\dfrac{45}{4}$
i, per tant,
    $b=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \, \text{m}$

Finalment, posant el valor de $b$ a l'expressió (1), arribem a

    $\mathcal{A}=\dfrac{9 \, \sqrt{5}}{4} \, \text{m}^2$

que, aproximant per arrodoniment, queda

    $\mathcal{A}\approx 5 \, \text{m}^2$

$\square$

  b)
El perímetre (suma de les longituds dels tres costats) és igual a
$\mathcal{P}=(2+m)+3+b \quad \quad (2)$

Substituint els resultats de $m$ i $b$ (que ha hem calculat) en aquesta expressió trobem el següent resultat

$\mathcal{P}=\big(2+\dfrac{5}{2}\big)+3+ \dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \, \text{m}$

operant i aproximant (per arrodoniment) obtenim

$\mathcal{P}\approx 11 \, \text{m}$

$\square$

[nota del autor]

Una demostración del Teorema de Pitágoras ... ( Artículo escrito en catalán )

El Teorema de Pitàgores expressa la propietat següent:
  L'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa d'un triangle rectangle és igual a la suma de les àrees dels quadrats que es construeixen sobre els seus catets.
  Dit d'una manera simbòlica i d'acord amb la notació de la Figura 1:
                                                $b^2=a^2+c^2$

Demostració:
Fent un cop d'ull a la figura de sota, observem que d'acord amb el Teorema d'invariància de l'àrea d'un paral·lelogram [ Si es deforma un paral·lelogram mantenint el valor de la longitud del segment perpendicular entre les bases (l'altura) i la longitud de la base, el valor de l'àrea con canvia ], l'àrea del quadrat ABDE (en verd) és igual a la del paral·lelogram ABIL (en gris, superposat sobre el quadrat verd); semblantment, l'àrea del quadrat BCFG (en color rosa) és igual a l'àrea del paral·lelogram BCHI (en rosa pujat de to).

Per altra banda, i per la mateixa raó, l'àrea de ABIL és igual a l'àrea de AKNM (una part de l'àrea de ACJK, el quadrat sobre la hipotenusa), i l'àrea de BCHI és igual a de CMNJ (fent servir altre cop la mateixa propietat d'invariància d'àrees) que és la part que falt per cobrir l'àrea de ACJK. I, dit això, queda demostrat que
l'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa d'un triangle rectangle és igual a la suma de les àrees dels quadrats que es construeixen sobre els seus catets.
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[nota del autor]

La diagonal de un rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
La diagonal d'un rectangle fa deu centímetres. Trobeu-ne les dimensions sabent un dels costats fa dos centímetres menys que l'altre.

Solució:
La diagonal del rectangle el divideix en dos triangles rectangles iguals. Considerem un d'aquests triangles rectangles i anomenem $x$ al catet més llarg, llavors la longitud de l'altre ve donada per $x-2$. Els catets són, és clar, els costats desiguals del rectangle, i, la diagonal del rectangle és la hipotenusa del triangle rectangle, que mesura $10 \, \text{cm}$.

Llavors, pel teorema de Pitàgores podem plantejar
    $x^2+(x-2)^2=10^2$
expandint el binomi al quadrat
    $x^2+x^2-4\,x+4=100$
i agrupant els termes semblants al primer membre
    $2\,x^2-4\,x-96=0$
que és una equació de segon grau completa
    $a\,x^2+b\,x+c=0$
Dividint, ara, pel màxim comú múltiple dels tres coeficients, que és igual a $2$, obtenim una equació equivalent més senzilla
    $x^2-2\,x-48=0$
de coeficients $a=1$, $b=-2$ i $c=48$
per tant la solució és
    $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$
i pels valors concrets dels coeficients que tenim
    $x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-48)}}{2\cdot 1}=\ldots =\left\{\begin{matrix}8\\ \\-7 \end{matrix}\right.$
El segon valor de la solució de l'equació no té sentit en el context del problema perquè, donat que estem cercant longituds, no és possible acceptar valors negatius; per tant, l'únic valor coherent amb el significat del problema és $x=8 \, \text{cm}$. I sí aquesta és la longitud del catet de major longitud, la del més petit ( dos centímetres més petit ) és igual a $6 \, \text{cm}$. Hem acabat.
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[nota del autor]

Considérese un triángulo rectángulo de vértices ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu un triangle rectangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$, tal que $\angle{ABC}=90^{\circ}$. Sabem que la longitud del catet $a$ és igual a $2\,\text{cm}$, i, que la longitud del segment perpendicular a la hipotenusa que passa per $B$ i que és secant a la hipotenusa en el punt $P$ ( que anomenarem $h$ ) mesura $1\, \text{cm}$. Calculeu l'àrea del triangle.

Solució:
Traçant l'altura que passa per $B$ i que talla a la hipotenusa en $P$, el triangle rectangle donat queda dividit en dos triangles rectangles: $\triangle{BCP}$ i $\triangle{ABP}$ ( feu vosaltres la figura ). Llavors, segons el teorema de l'altura aplicat al triangle $\triangle{ABC}$ podem escriure
    $h^2=n\,m$
i, atès que $h=1\,\text{cm}$, queda
    $1=n\,m \quad \quad (1)$
on ja hem dit que $h$ és la longitud del segment $BP$, i, $m$ i $n$ representen els dos segments amb què el punt $P$ divideix la hipotenusa $b$. Observem que $m$ representa la projecció del catet $c$ sobre la hipotenusa $b$, i, $n$ és la projecció de l'altre catet, $a$.
Per altra banda, aplicant el teorema del catet, podem escriure
    $2^2=n\,(n+m)$
és a dir
    $4=n^2+n\,m \quad \quad (2)$
Substituint (1) en (2), arribem a
    $4=n^2+1$
i d'aquí
    $n^3=3$
d'on treiem la longitud d'aquesta projecció del catet de longitud $2$
    $n=\sqrt{3} \, \text{cm}$
llavors, posant aquest resultat en (1), podem calcular el valor que li correspon a $m$, que és
    $m=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}$
I, per tant, ja podem calcular l'àrea, fent:
    $\mathcal{A}=\dfrac{(m+n)\,h}{2}$
      $= \dfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot \bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}\bigg)$
i, operant i simplificant, queda
    $\mathcal{A}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{4}{3}$
        $=\dfrac{2}{3}\,\sqrt{3} \, \text{cm}^2$
        $\approx 1 \,\text{cm}^2$

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[nota del autor]

Considérese el triángulo rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu un triangle rectangle $\triangle{ABC}$. Un dels catets, $c$, mesura $3\,\text{cm}$; la seva projecció, $n$, sobre la hipotenusa, $b$, mesura $2\,\text{cm}$. Calculeu l'àrea i el perímetre del triangle rectangle.

Solució:
La recta perpendicular a la hipotenusa que passa per $B$ divideix el triangle $\triangle{ABC}$ en dos triangles rectangles: $\triangle{ABP}$ i $\triangle{BCP}$, on $P$ és el punt que es troba sobre la hipotenusa, sota la vertical de $B$. Anomenem $h$ a la distància entre $B$ i $P$.

Llavors, aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{ABP}$, podrem calcular el valor de $h$:
    $h^2+2^2=3^2 \Rightarrow h=\sqrt{5} \, \text{cm}$

Pel teorema de l'altura ( triangle $\triangle{ABC}$ ) podem escriure
    $2\,m= h^2$
és a dir
    $2\,m= 5$
i, d'aquí, trobem
    $2m= \dfrac{5}{2}\, \text{cm}$
amb la qual cosa sabem que
    $b=2+\frac{5}{2}=\dfrac{9}{2}\,\text{cm}$

Ara, ja podem calcular l'àrea del triangle $\triangle{ABC}$, fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\,b\,h$
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{2}\,\sqrt{5}$
      $=\dfrac{9\,\sqrt{5}}{4}\,\text{cm}^2$
      $\approx 5 \,\text{cm}^2$

Finalment, per calcular el perímetre $\mathcal{P}$, ens cal calcular el valor de $a$, que trobarem aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{BCP}$
    $\big(\dfrac{5}{2}\big)^2+(\sqrt{5})^2=a^2 \Rightarrow a=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \,\text{cm}$

Fet això, tenim que
    $\mathcal{P}=a+b+c$
      $=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2}+\dfrac{9}{2}+3$
      $=\dfrac{3}{2}\,(5+\sqrt{5})\,\text{cm}$
      $\approx 11 \,\text{cm}$

$\square$

[nota del autor]

Una pecera tiene forma de paralelepípedo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una peixera té forma de prisma recte, de base rectangular. Les longituds de les arestes mesuren $2\,\text{m}$, $3\,\text{m}$ i $4\,\text{m}$. Si un peix es mou en línia recta, quina és la màxima distància que es pot desplaçar sense canviar de direcció ni canviar de sentit ?.

Solució:

El camí que dóna la màxima distància és el de la diagonal del prisma $d$, i, tal i com és ben sabut, aplicant el teorema de Pitàgores dos cops, sobre els triangles rectangles que es configuren (dibuixeu vosaltres la figura), aquesta longitud és igual a $d=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29} \, \text{m} \approx 5 \, \text{m} $
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[nota del autor]

Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un dels catets d'un triangle rectangle mesura $3 \, \text{cm}$, i, la seva projecció sobre la hipotenusa, $2\,\text{cm}$. Dibuixeu un esquema del triangle i calculeu l'àrea i el perímetre.

Solució:

Àrea:
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\,h\,(2+m) \quad \quad (1)$
Perímetre:
    $\mathcal{P}=3+(2+m)+b \quad \quad (2)$
Cal, doncs, calcular $h$, $m$ i $b$:
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{BCP}$
    $h^2+2^2=3^2 \Rightarrow h = \sqrt{5} \, \text{cm}$
Aplicant el teorema de l'altura al triangle rectangle $\triangle{ABC}$
    $5=2\,m \Rightarrow m=\dfrac{5}{2}\, \text{cm}$
per tant, la hipotenusa d'aquest triangle té una longitud de
    $\dfrac{5}{2}+2=\dfrac{9}{2}\,\text{cm}$
Calcularem $b$ aplicant el teorema del catet al triangle rectangle $\triangle{ABC}$
&bnsp   $b^2=\dfrac{9}{2}\cdot \dfrac{5}{2} \Rightarrow b=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2}\,\text{cm}$
I, finalment
de (1):
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{2} \,\sqrt{5} $
        $=\dfrac{9}{4}\,\sqrt{5} \,\text{cm}^2 $
        $\approx 5 \,\text{cm}^2 $
de (2):
    $\mathcal{P}=3+\dfrac{9}{2}+\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2}$
        $=\dfrac{15}{2}+ \dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} $
        $=\dfrac{3}{2}\,\big(5+ \sqrt{5}\big) \, \text{cm} $
        $\approx 11 \,\text{cm}$
$\square$

[nota del autor]

Considerar el triángulo rectángulo ...

Enunciado:
Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática:

Sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son $PB=2 \,\text{cm}$ y $PA=10\,\text{cm}$, calcúlese el área y el perímetro del triángulo.

Resolución:

(a) Área del triángulo:
Podemos calcular el área del triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ multiplicando $c$ ( que es igual a $\text{PA}+\text{PB}=12\,\text{cm}$ ) por la altura correspondiente a dicho lado, que es $h$ y dividiendo por $2$; sin embargo, no conocemos el valor de $h$. Debemos, pues, calcularla; por el Teorema de la altura tenemos $\text{PA}\cdot \text{PB}=h^2$, esto es, $10\cdot 2 = h^2$, luego $h=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}= 2\,\sqrt{5}\,\text{cm}$. Así, pues, $\text{Área}=\dfrac{12 \cdot 2\,\sqrt{5} }{2}=12\,\sqrt{5} \approx 27 \, \text{cm}^2$

(b) Perímetro del triángulo:
El perímetro del triángulo $\triangle \{A,B,C\}$ es la suma de sus tres lados, esto es, $\text{Perímetro}=a+b+c$   (1). Conocemos cuánto vale $c$ ( que es $12\,\text{cm}$ ) pero no conocemos, directamente, ni $a$ ni $b$; sin embargo, podemos calcular éstos mediante el Teorema del Cateto: $a^2=\text{PB}\cdot c = 2 \cdot 12 = 24$, luego $a= \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{6}=2\,\sqrt{6} \,\text{cm}$, y, de forma análoga, $b^2=\text{PA}\cdot c = 10 \cdot 12 = 120$, luego $b= \sqrt{120}=\sqrt{4\cdot 30}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{30}=2\,\sqrt{30} \,\text{cm}$. Así, pues, de (1) tenemos: $\text{Perímetro}=2\,\sqrt{6}+2\,\sqrt{30}+12 \, \text{cm} \approx 28 \, \text{cm}$

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[nota del autor]

A partir de las medidas de un triángulo rectángulo ( ver la figura esquemática), que son $a=13\,\text{cm}$ y $c=12\,\text{cm}$, calcular el área y el perímetro del mismo.

Enunciado:
A partir de las medidas de un triángulo rectángulo ( ver la figura esquemática), que son $a=13\,\text{cm}$ y $c=12\,\text{cm}$, calcular el área y el perímetro del mismo.

Resolución:
Podemos calcular el área del triángulo de la forma $A=\dfrac{12\,b}{2}=6\,b$   (1), donde el valor de $b$ no se nos da directamente; sin embargo, por el Teorema de Pitágoras sabemos que $b^2+12^2=13^2$, luego $b^2=13^2-12^2$, es decir, $b^2=169-144=25 \Rightarrow b=\sqrt{25}=5\,\text{cm}$, con lo cual, de (1), $A=6\cdot 5=30\,\text{cm}^2$
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[nota del autor]

Calcúlese la longitud de la diagonal de un cubo de un metro de longitud de arista.

Enunciado:
Calcúlese la longitud de la diagonal de un cubo de un metro de longitud de arista.

Resolución:
Sea $x$ la diagonal de una cara, entonces $x^2=1^2+1^2=2$ ( por el Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo que se forma al trazar la diagonal de una cara del cubo ). Por otra parte, al trazar la diagonal del cubo, se configura otro triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitud $1$ y $x=\sqrt{2}$, y de diagonal $d$, luego
$d=\sqrt{x^2+1^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{3}\,\text{m}$
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[nota del autor]

El área de un cierto rectángulo mide $20\,\text{dm}^2$. Sabemos, además, que uno de sus lados mide $4 \, \text{dm}$. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?

Enunciado:
El área de un cierto rectángulo mide $20\,\text{dm}^2$. Sabemos, además, que uno de sus lados mide $4 \, \text{dm}$. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?

Resolución:
Conociendo el valor del área ( $20\,\text{dm}^2$ ) y el valor de uno de los lados desiguales ( $a=4\,\text{dm}$ ) del rectángulo, podemos calcular la longitud del otro ( a la que llamamos $b$ ), de manera bien sencilla, pues, $20=4\,b$; de aquí, $b=20/4=5\,\text{dm}$. Y, como la diagonal del rectángulo ( que denotamos por $d$ ) divide a éste en dos triángulos rectángulos iguales, aplicando el Teorema de Pitágoras:
$$d=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\,\text{dm}$$

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[nota del autor]

Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$

Enunciado:
Calcular el perímetro del triángulo de la figura, sabiendo que $\overline{BP}=2\,\text{cm}$ y $\overline{PA}=3\,\text{cm}$

Resolución:
El perímetro del triángulo $\triangle{\{A,B,C\}}$ es igual a la suma de las longitudes de sus lados, y, por tanto, es $a+b+c$; conocemos el valor de $c$, que es $3+2=5\,\text{cm}$; nos faltan, sin embargo, las longitudes de los catetos $a$ y $b$, que determinaremos a partir del Teorema del Cateto, aplicado a cada uno de los dos triángulos rectángulos en que queda dividido el triángulo rectángulo dado ( $\triangle{\{A,B,C\}}$ ).

Así, pues, por el Teorema del Cateto: $a^2=c \cdot \overline{PB}$, y con los datos del problema, $a^2=2\cdot 5$, luego $a=\sqrt{10}\,\text{cm}$

Y de manera análoga, $b^2=c \cdot \overline{PA}$, y con los datos del problema, $b^2=3\cdot 5$, luego $a=\sqrt{15}\,\text{cm}$

Luego, poniendo estos valores que acabamos de calcular en la expresión del perímetro, encontramos $\text{Perímetro}=5+\sqrt{15}+\sqrt{10} \,\text{cm}$

$\blacksquare$

[nota del autor]