La diagonal de un rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
La diagonal d'un rectangle fa deu centímetres. Trobeu-ne les dimensions sabent un dels costats fa dos centímetres menys que l'altre.

Solució:
La diagonal del rectangle el divideix en dos triangles rectangles iguals. Considerem un d'aquests triangles rectangles i anomenem $x$ al catet més llarg, llavors la longitud de l'altre ve donada per $x-2$. Els catets són, és clar, els costats desiguals del rectangle, i, la diagonal del rectangle és la hipotenusa del triangle rectangle, que mesura $10 \, \text{cm}$.

Llavors, pel teorema de Pitàgores podem plantejar
    $x^2+(x-2)^2=10^2$
expandint el binomi al quadrat
    $x^2+x^2-4\,x+4=100$
i agrupant els termes semblants al primer membre
    $2\,x^2-4\,x-96=0$
que és una equació de segon grau completa
    $a\,x^2+b\,x+c=0$
Dividint, ara, pel màxim comú múltiple dels tres coeficients, que és igual a $2$, obtenim una equació equivalent més senzilla
    $x^2-2\,x-48=0$
de coeficients $a=1$, $b=-2$ i $c=48$
per tant la solució és
    $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$
i pels valors concrets dels coeficients que tenim
    $x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-48)}}{2\cdot 1}=\ldots =\left\{\begin{matrix}8\\ \\-7 \end{matrix}\right.$
El segon valor de la solució de l'equació no té sentit en el context del problema perquè, donat que estem cercant longituds, no és possible acceptar valors negatius; per tant, l'únic valor coherent amb el significat del problema és $x=8 \, \text{cm}$. I sí aquesta és la longitud del catet de major longitud, la del més petit ( dos centímetres més petit ) és igual a $6 \, \text{cm}$. Hem acabat.
$\square$

[nota del autor]