Ecuaciones polinómicas de segundo grado

Quan resolem equacions de 2n grau, sovint ens podem trobar amb casos més senzills que el de la forma completa ( $a\,x^2+b\,x+c=0$ ). En aquests casos, el procés de resolució (trobar el valor o valors de la variable x que compleixen la igualtat) presenta poca dificultat. El cas general de l'equació de 2n grau completa el tractaré al final de l'article, exposant i justificant l'expressió de la solució seva solució general. Comentaré també algunes propietats interessants que fan referència a la relació entre els valors de la solució i els coeficients $a$, $b$ i $c$. Vegem, primer de tot, els casos més senzills:

    1.
      $a\,x^2 - c=0$
      Solució:
        $a\,x^2=c$
        $x^2=\dfrac{c}{a}$
        $x=\pm \sqrt{\dfrac{c}{a}}$

          Exemple:     $3\,x^2 - 4=0$
            Solució:
                  $3\,x^2=4$
                  $x^2=\dfrac{4}{3}$
                  $x=\pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$
                    $=\pm \dfrac{2}{\sqrt{3}}$

    2.
      $(m\,x-n)(p\,x-q)=0$
      Solució:
        $(m\,x-n)(p\,x-q)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} m\,x-n=0 \Rightarrow x=\dfrac{n}{m}\\\vee\\p\,x-q=0 \Rightarrow x=\dfrac{q}{p}\end{matrix}\right.$

          Exemple:     $(5\,x-3)(4\,x-7)=0$
                Solució:
                $(5\,x-3)(4\,x-7)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5\,x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{3}{5}\\\vee\\4\,x-7=0 \Rightarrow x=\dfrac{7}{4}\end{matrix}\right.$

    3.
      $ax^2-bx=0$
      Solució:
        $x\,(a\,x-b)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\\vee\\a\,x-b=0\Rightarrow x=\dfrac{b}{a}\end{matrix}\right.$

          Exemple:     $8\,x^2-160\,x=0$
                Solució:
        $8\,x\,(x-20)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\\vee\\x-20=0\Rightarrow x=20\end{matrix}\right.$

    4.
      $(m\,x-n)^2-p=0$
      Solució:
        $(m\,x-n)^2=p$
        $m\,x-n=\pm \sqrt{p}$
        $m\,x=n \pm \sqrt{p}$
        $=\dfrac{n \pm \sqrt{p}}{m}$

          Exemple:     $(m\,x-n)^2-p=0$
              Solució:
                $(2\,x-7)^2=5$
                $2\,x-7=\pm \sqrt{5}$
               $2\,x=7 \pm \sqrt{5}$
                $=\dfrac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$

A continuació, i amb la finalitat d'animar a fer ús d'estratègies "enraonades" per resoldre equacions de 2n grau, exposaré (justificaré) l'expressió general de la solució d'una equació general (completa) $ax^2+bx+c=0$, on tots els terme ( el de segon grau, el de primer grau i el terme independent o numèric ) són no nuls.

Resolució d'una equació de 2n grau completa ( del tipus $ax^2+bx+c=0$ ) trobant prèviament l'expressió en una forma equivalent i més compacta del tipus $(x+r)^2+s=0$
Entre els casos més o menys immediats ( més senzills ) exposats a la introducció, en especial, l'expressió d'una equació de 2n grau de la forma $(x+r)^2+s=0$ – que sempre és possible escriure - té molta importància, perquè, serveix per justificar la fórmula (que s'ensenya repetidament) dels valors de x que compleixen l'equació de 2n grau expressada de la forma $ax^2+bx+c=0$, és a dir, la fórmula
    $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
A continuació, prescindirem de la fórmula per trobar la solució d'una equació donada en forma completa i ho farem donant valors concrets als coeficients (vegeu l'exemple de sota). Els passos que seguirem, fàcilment, es poden generalitzar fent ús dels identificadors “a”, “b” i “c”, enlloc de valors concrets, obtenint la fórmula esmentada que molts alumnes aprenen de memòria sense entendre-la.

Exemple:
Suposem que volem resoldre l'equació $x^2+5x+6=0$. Primer de tot, l'expressem de la forma indicada al paràgraf anterior:
    $(x+\dfrac{5}{2})^2 – \dfrac{25}{4} + 6 = 0$
Per justificar aquest pas, tan sols cal tenir en compte el desenvolupament del quadrat d'un binomi mitjançant la identitat: $(w+v)^2 = w^2+2wv+v^2$. Per això, comencem a escrivint el binomi al quadrat que reprodueix el terme de grau dos $x^2$ i el terme de grau u $5x$; com que, segons la identitat, apareix just el doble de '5', escriurem $(x+5/2)^2$, però cal, a més a més, compensar l'afegit del quadrat de 5/2 (que no figura a l'expressió original) restant precisament aquesta quantitat i, per acabar, afegir el terme independent (el '6') que és el valor que falta per acabar d'ajustar l'expressió. Finalment, operem i extraiem l'arrel quadrada per desfer el quadrat:
    $x+5/2 = \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}}$
és a dir, obtenim dos valors diferents
$x_1 = \dfrac{1}{2} – \dfrac{5}{2}$
i
$x_2 = -\dfrac{1}{2} – \dfrac{5}{2}$
que fent les sumes
$x_1= -2$
i
$x_2 = -3$

Observacions i comentaris
Val a dir que alguns alumnes que entenen bé aquests passos s'estimen més prescindir de l'aplicació de la fórmula general que a continuació obtindrem i resoldre una equació completa de forma ràpida i segura (a efecte d'evitar errors de signes, sobre tot). A més, cas que l'equació plantejada no tingui solució, de seguida se'n adonen (trobant-se ràpidament amb una arrel quadrada d'argument negatiu). I si l'equació donada té un sol valor com a solució, encara es fa més ràpida la resolució, ja que ens estalviem els ajustos posteriors a la configuració del binomi al quadrat, quedant igualat aquest a zero.

Justificació de la fórmula general que dóna la solució d'una equació de 2n grau expressada en forma completa: $ax^2+bx+c=0$
Donada l'equació $ax^2+bx+c=0$, dividirem ambdós membres per a amb la finalitat de partir d'una forma equivalent que tingui coeficient del terme de 2n grau igual a $1$
    $x^2 + \dfrac{b}{a}\,x + \dfrac{c}{a} = 0$
A partir, d'aquí, repetint els passos de l'exemple, trobem expressions equivalents fins poder aïllar la variable:
    $(x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4\,a^2} + \dfrac{c}{a}$
    $(x + \dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a}$
reduïm a comú denominador el segon membre i trobem
    $(x + b/(2a))^2 = \dfrac{b^2-4\,ac}{4\,a^2}$
extraiem l'arrel quadrada a tots dos costats de la igualtat per desfer el quadrat del primer membre i arribem a
    $x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2a}$
I, tenint en compte, els dos possibles signes que aporta l'arrel quadrada,
    $x =-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2a}$
i atès que el denominador és el mateix
    $x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2a}$

Classificació de les equacions de 2n grau (donada l'expressió general(completa)) ax^2+bx+c=0

  La classificació es fa segons el valor de $b^2-4\,ac$ (el radicand del radical que apareix a l'expressió de la solució general) que anomenarem discriminant i designarem amb la lletra $\Delta$. Observem que:
    1. Si el discriminant $\Delta$ és negatiu, no podem trobar cap nombre real com a solució de l'equació
    2. Si el discriminant $\Delta$ és positiu, trobarem dos valors diferents com a solució
      Propietat 1.:     Si $r_1$ i $r_2$ són els dos valors de la solució, llavors:
        i) $r_{1}+r_{2}=-b$
        ii) $r_{1} \cdot r_{2}=c$
          Exemple:     Els dos valors de la solució de $x^2+5x+6=0$ ( $b=5$ i $c=6$ ) són $-2$ i $-3$. Es pot comprovar fàcilment que:
            i) $(-2)+(-3)=-5$, que és igual a $-b$
            ii) $(-2) \cdot (-3)=6$, que és igual a $c$
    3. Si el discriminant $\Delta$ és igual a zero trobarem un sol valor, que es repeteix dues vegades.

      Propietat 2.:     Si $r_1$ i $r_2$ són els dos valors de la solució de l'equació $a\,x^2+b\,x+c=0$, llavors el primer membre de l'equació ( és a dir, l'expressió $a\,x^2+b\,x+c$ ) es pot escriure en forma factoritzada:
                    $a\,(x-r_1)(x-r_2)$

          Exemple:     Els dos valors de la solució de $3\,x^2+2\,x-1=0$ són
                                                -1   i   1/3
i es pot comprovar fàcilment que
$3\,x^2+2\,x-1$
es pot escriure de la forma
$3\,\big(x-(-1)\big)\big(x-\dfrac{1}{3}\big)$
[ per fer-ho, només cal que fem el producte dels dos binomis, agrupant els termes semblants, i multiplicant el resultat per $3$ ].
$\square$

[nota del autor]