Los vértices de un triángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Els vèrtexs d'un triangle $\triangle{ABC}$ són els punts del pla $A(-1,1)$, $B(1,0)$ i $C(-1,-1)$. Us demanem:
  a) La construcció ( amb regle i compàs ) del triangle homotètic $\triangle{A'B'C'}$ al triangle donat $\triangle{ABC}$, amb centre d'homotècia $O(0,0)$ i raó d'homotècia $r=3$.
  b) L'àrea $\mathcal{A}$ del triangle $\triangle{ABC}$
  c) L'àrea $\mathcal{A'}$ del triangle $\triangle{A'B'C'}$
  d) El perímetre $\mathcal{P}$ del triangle $\triangle{ABC}$
  e) El perímetre $\mathcal{P'}$ del triangle $\triangle{A'B'C'}$
Nota:   L'àrea i les longitus es donen en unitats del gràfic ( unitats arbitràries ).

Solució:
a)

b)
El triangle $\triangle{ABC}$ ( igual que el seu homotètic $\triangle{A'B'C'}$ ) és un triangle isòsceles i, doncs, es divideix en dos triangles rectangles iguals, per tant la seva àrea és igual al doble de l'àrea d'un d'aquests triangles rectangles, que és igual a l'àrea d'un rectangle les longituds dels costats del qual són igual a les longituds dels catets d'un d'aquests dos triangles rectangles:
    $\mathcal{A}=1 \cdot 2 = 2 \, \text{unitats d'\`area}$

c)
Calcularem l'àra $\mathcal{A'}$ a partir de $\mathcal{A}$ ( que acabem de calcular i que val $2$ unitats d'àrea ) i de la raó de semblança $r$ ( que és igual a la raó de l'homotècia i que val $3$ ):
    $\mathcal{A'}=\mathcal{A}\cdot r^2$
        $=2\cdot 3^2$
        $=18 \, \text{unitats d'\`area}$

d)
El perímetre $\mathcal{P}$ del triangle $\triangle{ABC}$ és igual a la suma de les longituds dels costats
    $\mathcal{P}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}$
Tinguem en compte que $\overline{AB}=\overline{BC}$
ja que l'eix Ox, que passa per $B$, divideix el triangle $\triangle{ABC}$ en dos t. rectangles
Llavors, com que els catets d'aquests t.r. tenen longitus $1$ i $2$, respectivament, la seva hipotenusa $AB$ mesura
    $\overline{AB}=\left| \sqrt{2^2+1^2}\right|=\left| \sqrt{5}\right|$
Per tant
    $\mathcal{P}=2\,\left| \sqrt{5}\right|+2$
        $=2\,(\left| \sqrt{5}\right|+1)$
        $\approx 6,47 \, \text{unitats de longitud}$

e)
El perímetre $\mathcal{P'}$ del triangle resultant de l'homotècia, $\triangle{A'B'C'}$ es pot calcular a partir de $\mathcal{P}$ ( que acabem de calcular i que val $2\,(\left| \sqrt{5}\right|+1)$ unitats de longitud ) i de la raó de semblança $r$ ( que és igual a la raó de l'homotècia i que val $3$ ):
    $\mathcal{P'}=\mathcal{P}\cdot r$
        $=2\,(\left| \sqrt{5}\right|+1) \cdot 3$
        $=6 \, (\left| \sqrt{5}\right|+1)$
        $=6 \, (\left| \sqrt{5}\right|+1) \text{unitats de longitud}$

$\square$

[nota del autor]