Sean dos triángulos semejantes ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu dos triangles semblants, $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$, de raó de semblança igual a $r$. Demostreu que la raó aritmètica entre els perímetres també és igual a la raó de semblança $r$.

Solució:
Si els triangles $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$ són semblants, llavors la raó aritmètica entre les longituds dels costats corresponents són iguals a la raó de semblança (Teorema de Tales)
    $r=\dfrac{a'}{a}=\dfrac{b'}{b}=\dfrac{c'}{c}$
llavors, per les propietats de les proporcions, també es compleix que
    $\dfrac{a'}{a}=\dfrac{b'}{b}=\dfrac{c'}{c}=\dfrac{a'+b'+c'}{a+b+c}$
és a dir
    $r=\dfrac{a'+b'+c'}{a+b+c}$
I, donat que el numerador de la raó de la darrera fracció de la tercera desigualtat és igual al perímetre de $\triangle{A'B'C'}$, i, el denominador és igual al perímetre de $\triangle{ABC}$, es compleix que
    $\dfrac{\mathcal{P}'}{\mathcal{P}}=r$
$\square$
Nota:   El resultat s'estén a dues línies poligonals semblants de $n$ vèrtexs; per tant, també s'estén a dues corbes semblants, atès que podem fer l'aproximació de qualsevol corba continua per una poligonal, amb precisió ilimitada [ prenent tants vèrtexs com vulguem, i tan propers els un als altres com desitgem ].

[nota del autor]