Demostrar la siguiente identidad notable ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Demostreu la següent identitat notable:
    $(x+y)^3=x^3+3\,x^2\,y+3\,y^2\,+y^3$
i poseu un exemple d'aplicació al càlcul mental.

Solució:
    $(x+y)^3=(x+y)^{2}\,(x+y)=(x^2+2\,x\,y+y^2)\,(x+y)$
                    $=x^3+2\,x^2\,y +x\,y^2+x^2\,y+2\,x\,y^2+y^3$
i agrupant els termes semblants arribem a l'expressió del segon membre
                    $=x^3+3\,x^2\,y+3\,y^2\,x+y^3$
$\square$

Observació:
Canviant la suma de la base del binomi per una resta, és fàcil veure que
    $(x-y)^3=x^3-3\,x^2\,y+3\,y^2\,-y^3$
Per tant es pot escriure aquesta identitat més general
    $(x\pm y)^3=x^3 \mp 3\,x^2\,y+3\,y^2\,\mp y^3$


Exemple d'aplicació al càlcul mental:     Càlcul de $12^3$

    $12^3=(10+2)^3=10^3+3\cdot 10^2 \cdot 2 + 3\cdot 2^2 \cdot 10 + 2^3$
                                $=1\,000+600+120+8=1\,728$

[nota del autor]