Dada la sucesión aritmética ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada una successió aritmètica de la qual en coneixem la diferència $d$ i el valor del terme k-èssim $a_k$ ( $k \ge 1$ ), determineu:
    a) l'expressió del terme n-èssim ( comptat a partir del k-èssim donat )
    b) l'expressió de la suma de $m$ termes consecutius, a partir del terme donat $a_k$ ( $\quad \quad k \ge 1$ )

Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
    $a_k$
    $a_{k+1}=a_{k}+ d$
    $a_{k+2}=a_{k+1} +d =a_k +d+d=a_{k}+2\,d$
    $a_{k+3}=a_{k+2}+d=a_k +2\,d+d=a_k +3\,d$
i així successivament, d'on es fa ja ben clara la regla de formació
    $a_{k+n} = a_k+n\,d \quad \quad (1)$
    $\text{on} \; \; n=1,2,3\ldots, \; \text{i} \; n \ge k$

Si, en particular, $k=1$, l'expressió anterior queda
    $a_{n+1} = a_1+n\,d$
expressió de la qual ( canviant $n+1$ per $n$ i $n$ per $n-1$ ) en deduïm l'expressió del terme general que se'ns demana:
    $a_{n} = a_1+(n-1)\,d$
on $a_1$ representa el valor del primer terme de la successió.

Exemple/comprovació:     El cinquè terme $a_5$ d'una successió aritmètica és igual a $3$ i la diferència és $d=2$. Quin valor té el terme $a_{7}$ ?
De (1), $a_7=a_{5+2}=a_5+2\,d$, és a dir, $a_7=-3+2\cdot 2 = 1$. En efecte, els tres termes de la seqüència són $\{-3 \quad , \quad -3+2=-1 \quad , \quad -1+2=1\}$

b)
Per sumar $m$ termes consecutius a partir d'un terme donat $a_k$, és a dir
    $S_{m\,\text{termes consecutius}} = a_k+a_{k+1}+\ldots+a_{k+m-1}$
tindrem en compte la propietat de la suma dels extrems ( el valor de la suma d'un conjunt de termes consecutius d'una successió aritmètica és constant):
    $a_{k}+a_{k+m-1}=a_{k+1}+a_{k+m-2}=a_{k+2}+a_{k+m-3}=\ldots=\text{constant}$
amb la qual cosa
    $S_{m\,\text{termes consecutius}}=(a_{k}+a_{k+m-1})\cdot \dfrac{m}{2} \quad \quad (2)$

Nota:     Si $k=1$ ( si comencem pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
    $S_{m\,\text{primers termes consecutius}}=\dfrac{(a_{1}+a_{m})\,m}{2}$


Exemple/comprovació:     El cinquè terme $a_5$ d'una successió aritmètica és igual a $3$ i la diferència és $d=2$. Quant val la suma dels tres primers termes de la seqüència?
De (2),
$S_{\text{tres termes consecutius}}=\dfrac{(a_{5}+a_{7})\cdot 3}{2}=\dfrac{(-3+1)\cdot 3}{2}=-3$
En efecte, comprovem aquest resultat fent la suma acumulativa: $-3+(-1)+1=-3$

$\square$

[nota del autor]