Sea un triángulo rectángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
D'un triangle rectangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$, tal que $\angle{ABC}=90^{\circ}$, sabem que la longitud del catet $c$ és igual a $4\,\text{cm}$, i, que la projecció sobre la hipotenusa de l'altre catet, $a$, té una longitud de $3\, \text{cm}$. Calculeu-ne l'àrea.

Solució:
Traçant l'altura que passa per $B$ i que talla a la hipotenusa en $P$, el triangle rectangle donat queda dividit en dos triangles rectangles: $\triangle{BCP}$ i $\triangle{ABP}$ ( feu vosaltres la figura ). Llavors, segons el teorema de l'altura aplicat al triangle $\triangle{ABC}$ podem escriure
    $h^2=3\,m \quad \quad (1)$
on $h$ és la longitud del segment $BP$ i $m$ és la projecció de l'altre catet ( de longitud $4 \, \text{cm}$ ) sobre la hipotenusa $b$ de $\triangle{ABC}$. Per altra banda, aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle $\triangle{ABP}$ podem escriure
    $h^2+m^2=4^2 \quad \quad (2)$
Substituint (1) en (2), i simplificant, arribem a
    $m=\dfrac{4}{\sqrt{10}} \, \text{cm}$
i, posant aquest resultat a (1) i desfent el quadrat (extraient l'arrel quadrada), trobem
    $h=\sqrt{3\cdot \dfrac{4}{\sqrt{10}}} = \sqrt{\dfrac{12}{\sqrt{10}}} \, \text{cm}$
Ara, doncs, ja podem calcular l'àrea:
    $\mathcal{A}=\dfrac{(m+3)\,h}{2}$
      $= \dfrac{1}{2}\,\bigg(\dfrac{4}{\sqrt{10}}+3\bigg)\cdot \sqrt{\dfrac{12}{\sqrt{10}}}$
i, operant i simplificant, queda
    $\mathcal{A}\approx 4\, \text{cm}^2$

Nota: prenem el resultat de les arrels quadrades en valor absolut
$\square$

[nota del autor]