La maqueta de un edificio ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
La maqueta d'un edifici, que està feta a escala $1:20$, té una planta rectangular de $4\,\text{dm}$ de llarg per $3\,\text{dm}$ d'ample. Les quatre parets s'eleven verticalment a $2\,\text{dm}$ del pla de la base, i, aquest cos ( prisma de base rectangular ) està cobert per una teulada de doble vessant ( centrada ), el punt més alt de la qual es troba d $2,4 \, \text{dm}$ del pla de la base. Calculeu ( Nota: us recomano que feu un dibuix a escala i que hi poseu les dades anteriors per veure clar què heu de fer ):
  a) El volum de la maqueta
  b) El volum de l'edifici real
  c) L'àrea de la teulada de la maqueta
  d) L'àrea de la teulada de l'edifici real

Solució:

a)
El volum de la maqueta $\mathcal{V}$ és igual a la suma del volum del prisma de base rectangular (el cos principal de l'edifici) que anomenarem $\mathcal{V}_1$ i el del prisma de base triangular ( la teulada ) que anomenarem $\mathcal{V}_2$.

Calculeum $\mathcal{V}_1$ sense cap dificultat
    $\mathcal{V}_1=2 \cdot 3 \cdot 4$
        $= 24 \, \text{dm}^3$

Per calcular $\mathcal{V}_2$ cal calcular, primer de tot, l'àrea de la base ( que és un triangle isòsceles, amb una longitud de la base de $3 \, \text{dm}$ i altura respectiva igual a $2,4-2=0,4 \, \text{dm}$ ), i resultar ser igual a
    $\dfrac{3 \cdot 0,4}{2}=0,6 \, \text{dm}^2$
Per tant, $\mathcal{V}_2$ pren el següent valor
    $\mathcal{V}_2=0,6 \cdot 4 = 2,4 \, \text{dm}^3$

El volum de la maqueta $\mathcal{V}$ és, doncs, igual a
    $\mathcal{V}=\mathcal{V}_1+\mathcal{V}_2$
        $= 24+2,4 = 26,4 \, \text{dm}^3$

b)
Tenint en compte que ( de la maqueta a l'edifici real ) la raó de semblança $r$ és igual a $20$, podem calcular el volum de l'edifici real $\mathcal{V}'$ a partir del volum de la maqueta $\mathcal{V}$ i de la raó de semblança:
    $\mathcal{V'}=\mathcal{V} \cdot r^3$
        $=26,4 \cdot 20^3 \, \text{dm}^3$
        $=211\,200 \, \text{dm}^3$
        $=211,200 \, \text{m}^3$

c)

Per calcular l'àrea de la teulada $\mathcal{A}$ cal adonar-nos que és la de dos rectangles iguals ( doble vessant, centrat ) de costats: $l$ ( que representa la longitud de l'aresta oblíqua del prisma de base triangular i que ara calcularem ) i $4\, \text{dm}$ ( el llarg de l'edifici ), és a dir, $\mathcal{A}=2\cdot ( 4\,l ) \quad (1)$.

Procedim a calcular la longitud de $l$:
Mirant la secció frontal del prisma de base triangular ( de la teulada ) identifiquem un triangle isòsceles; la meitat del qual és un triangle rectangle que té $0,4 \, \text{dm}$ i $1,5 \, \text{dm}$, respectivament ( aquest segon és la meitat de la base i, doncs, de l'amplada de l'edifici ). En aquest triangle rectangle, $l$ és la longitud de la hipotenusa. Fent ús del teorema de Pitàgores, trobem que
    $l^2=0,4^2+1,5^2 \Rightarrow l=\left|\sqrt{0,4^2+1,5^2}\right|$

Substituint aquest resulta de $l$ en (1),
    $\mathcal{A}=8\,l$
        $=8\,\left|\sqrt{0,4^2+1,5^2}\right| \, \text{dm}^2$
        $\approx 12,42 \, \text{dm}^2$

d)
Per calcular l'àrea de la teulada de l'edifici real $\mathcal{A'}$ farem ús del resultat anterior ( el valor de $\mathcal{A}$ ) i de la raó de semblança ( $r=20$ ), tenint en compte que
    $\mathcal{A'}=\mathcal{A} \cdot r^2$
        $=12,42 \cdot 20^2 \, \text{dm}^2$
        $=4\,968 \, \text{dm}^2$
        $=49,68 \, \text{m}^2$

$\square$

[nota del autor]