Un ciclista ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Observem un ciclista en una bicicleta de muntanya ( el diàmetre de les rodes és de $26 \,\text{polzades}$ - encara avui és habitual fer servir les imperial units quan parlem del diàmetre de les rodes de les bicicletes - , és a dir, $660\,\text{mm}$ en el sistema mètric ) i veiem que fa $1$ pedalada cada segon, en un terreny horitzontal ( sense pujades ni baixades ), sempre al mateix ritme i, per tant, a velocitat constant. Sabem que al canvi de la seva bicicleta, el ciclista ha seleccionat un plat de $52$ dents i una corona $13$ dents [ com ja sabeu, quan pedalem fem girar el plat, empenyent les bieles, i, mitjançant la cadena de transmissió, el moviment es transmet a la la corona de la roda del darrere ]. Us demanem:
    a) A quina velocitat es desplaça aquest ciclista ?
    b) Quant de temps li caldrà per completar un recorregut de $15\,\text{km}$ pel mateix tipus de terreny ( sense pujades ni baixades, mantenint el ritme de les pedalades ) ?.

Solució:
a)
[a.1]     Primer de tot, calcularem la velocitat de gir de les rodes de la bicicleta i, tal com s'ha explicat en d'altres problemes, les magnituds proporcionals que entren en joc són la velocitat de gir i el nombre de dents. Aquestes magnituds són inversament proporcionals l'una respecte de l'altra perquè la velocitat de gir d'una de les les dues rodes engranades per la cadena és tan més gran com més petit és el seu nombre de dents. Designem per $w_p$ la velocitat de gir del plat i per $w_c$ la velocitat de gir de la corona, i, anomenem $z_p$ al nombre de dents del plat i $z_c$ al nombre de dents de la corona. Llavors, per la relació de proporcionalitat inversa podem platejar
    $\dfrac{w_p}{\frac{1}{d_p}}=\dfrac{w_c}{\frac{1}{d_c}}$
és a dir
    $w_p \cdot d_p=w_c \cdot d_c$
Llavor, amb les dades del problema, tindrem
    $52 \cdot 1 = 13 \cdot w_c$
I, resolent aquesta senzilla equació, obtenim
    $w_c= \dfrac{52 \cdot 1}{13} $
            $= 4 \; \dfrac{\text{voltes}}{\text{s}}$

[a.2]     A continuació, sabent quant val la velocitat de gir de les rodes de la bicicleta i coneixent també la mesura del diàmetre de les rodes, podem calcular la velocitat a la qual es desplaça: la velocitat lineal d'un punt de la circumferència d'una roda ha de ser igual a la velocitat de translació de la bicicleta, atès que, en bona lògica, suposem que el desplaçament es produeix sense que hi hagi lliscament.

Com que la longitud de la circumferència del contorn de la roda és igual a $\pi\cdot d$ ( on $d$ representa el diàmetre de la roda ), raonem de la manera següent: donat que en $1\,\text{s}$ les rodes completen $4$ voltes, i, per cada volta, la bicicleta es desplaça una longitud igual a
    $\pi\cdot d \quad \text{unitats de longitud}$
llavors, fent $4$ voltes de roda en aquest interval de temps, la bicicleta recorre
    $4\,\pi\cdot d \quad \text{unitats de longitud}$
que, donada la dada del diàmetre, és igual aproximadament a
    $8\,294 \quad \text{mm}=8,294 \quad \text{m} \approx 8,294 \quad \text{km} $
és a dir, es desplaça a una velocitat de
    $8,294 \; \dfrac{\text{km}}{s}$
que, expressada en quilòmetres per hora, és aproximadament igual a
    $30 \; \dfrac{\text{km}}{h}$

b)
    Sabent a quina velocitat es mou podem calcular, ara, el temps $t$ que tardarà a recórrer una longitud de $30\,\text{km}$; per això, plantejarem una senzill proporció que, ara, és directa ( entre les magnituds temps i longitud ) atès que quan el valor d'una d'aquestes augmenta ( disminueix, respectivament ) l'altra també augmenta ( disminueix, respectivament), és a dir, prenent el valor aproximat de la velocitat expressada en quilòmetres per hora, que hem calculat a l'apartat anterior, escriurem la següent proporció, que, donat que és directa hem decidit posar els valors de la longitud als denominadors i les quantitats de temps als numeradors ( d'un i altre membre)
    $\dfrac{1}{30}=\dfrac{t}{15} \Rightarrow t = 0,5 \, \text{h}=30 \, \text{min}$

Nota:     Observem que l'equació expressa la igualtat entre les dues raons aritmètiques ( de cada membre ), que representen les velocitats i que, naturalment, han de ser iguals.
$\square$

[nota del autor]