Enunciat:
Representeu en el pla el triangle \triangle{ABC} de vèrtexs: A(1,0), B(1,-1) i C(-1,-1) i calculeu-ne l'àrea ( \mathcal{A} ) i el perímetre ( \mathcal{P} ). A continuació, calculeu l'àrea ( \mathcal{A}' ) i el perímetre ( \mathcal{P}' ) d'un triangle homotètic al donat ( \triangle{A'B'C'} ), sabent que és més gran que l'original i que la raó de l'homotècia r és igual a 4.
Solució:
Gràfic del triangle \triangle{ABC}

Àrea i perímetre de \triangle{ABC} :
\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot2=1 \; \text{unitats d'àrea del gràfic}
\mathcal{P}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}
on
\overline{AB}=1 \; \text{unitats de longitud del gràfic}
\overline{BC}=2 \; \text{unitats de longitud del gràfic}
i, donat que \triangle{ABC} és un triangle rectangle, podem fer ús del teorema de Pitàgores per calcular la longitud del costat CA:
\overline{CA}=\left|\sqrt{1^2+2^2}\right| \; \text{unitats de longitud del gràfic}
Per tant
\mathcal{P}=1+2+\left|\sqrt{1^2+2^2}\right|
=3+\left|\sqrt{5}\right|
\approx 5 \; \text{unitats de longitud del gràfic}
I, tenint en compte que el valor de la raó de l'homotècia dóna el valor de la raó de semblança, calculem l'àrea i el perímetre de \triangle{A'B'C'}:
\mathcal{A'}=\mathcal{A} \cdot r^2
=1 \cdot 4^2
=16 \; \text{unitats d'àrea del gràfic}
\mathcal{P'}=\mathcal{P} \cdot r
=(3+\left|\sqrt{5}\right|) \cdot 4
\approx 21 \; \text{unitats de longitud del gràfic}
\square
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios