Processing math: 100%

lunes, 6 de abril de 2015

Ejercicio relacionado con la homotecia y el área de un triángulo. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Representeu en el pla el triangle \triangle{ABC} de vèrtexs: A(1,0), B(1,-1) i C(-1,-1) i calculeu-ne l'àrea ( \mathcal{A} ) i el perímetre ( \mathcal{P} ). A continuació, calculeu l'àrea ( \mathcal{A}' ) i el perímetre ( \mathcal{P}' ) d'un triangle homotètic al donat ( \triangle{A'B'C'} ), sabent que és més gran que l'original i que la raó de l'homotècia r és igual a 4.

Solució:
    Gràfic del triangle \triangle{ABC}

Àrea i perímetre de \triangle{ABC} :
    \mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot2=1 \; \text{unitats d'àrea del gràfic}
    \mathcal{P}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}
on
    \overline{AB}=1 \; \text{unitats de longitud del gràfic}
    \overline{BC}=2 \; \text{unitats de longitud del gràfic}
i, donat que \triangle{ABC} és un triangle rectangle, podem fer ús del teorema de Pitàgores per calcular la longitud del costat CA:
    \overline{CA}=\left|\sqrt{1^2+2^2}\right| \; \text{unitats de longitud del gràfic}

Per tant
    \mathcal{P}=1+2+\left|\sqrt{1^2+2^2}\right|
            =3+\left|\sqrt{5}\right|
            \approx 5 \; \text{unitats de longitud del gràfic}

I, tenint en compte que el valor de la raó de l'homotècia dóna el valor de la raó de semblança, calculem l'àrea i el perímetre de \triangle{A'B'C'}:
    \mathcal{A'}=\mathcal{A} \cdot r^2
            =1 \cdot 4^2
            =16 \; \text{unitats d'àrea del gràfic}
    \mathcal{P'}=\mathcal{P} \cdot r
            =(3+\left|\sqrt{5}\right|) \cdot 4
            \approx 21 \; \text{unitats de longitud del gràfic}

\square

[nota del autor]

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Gracias por tus comentarios