Ejercicio 5 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020. Semejanza

Ejercicio 12 de la página 199 del libro base

ENUNCIADO. Sara está en una foto con su padre Ismael; y, en ella, la altura de Sara es de 3 cm y la de Ismael 3,5 cm. Si en la realidad Ismael mide 1,75 m, ¿ cuánto mide Sara en la realidad ?.

SOLUCIÓN.

Semejanza

ENUNCIADO. Sea un cuadrado de $4$ centímetros de lado. Considerar, ahora, otro cuadrado que sea semejante al primero y que tenga $12$ centímetros de lado. ¿ Cuál es la razón de semejanza del segundo con respecto del primero ? ¿ Cuál es la razón entre las áreas del mayor y del menor ?.

SOLUCIÓN. La razón de semejanza es $k=\dfrac{12}{4}=3$, y la razón entre las áreas es $k^2$, esto es, $3^2=9$
$\square$

Considar dos triángulos semejantes ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu dos triangles semblants, $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$, de raó de semblança igual a $r$. Demostreu que la raó aritmètica entre les àrees és igual a la raó de semblança $r$ elevada al quadrat.

Solució:
Si els triangles $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$ són semblants, llavors la raó aritmètica entre les longituds dels costats corresponents que designem com a bases, $b$ i $b'$ és igual a $r$, i, semblantment, la raó aritmètica entre les longituds dels segments altura d'aquestes bases, $h$ i $h'$, també és igual a $r$:
    $r=\dfrac{b'}{b} \quad \quad (1)$
    $r=\dfrac{h'}{h} \quad \quad (2)$
Tenint en compte que les àrees respectives es calculen de la forma
    $\mathcal{A}=\dfrac{b\,h}{2} \quad \quad (3)$
i
    $\mathcal{A'}=\dfrac{b'\,h'}{2} \quad \quad (4)$
dividint membre a membre (4) entre (3) trobem
    $\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=\dfrac{\;\;\frac{b'\,h'}{2}}{\frac{b\,h}{2}\;\;}$
Tenint en compte (1) i (2)
    $\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=\dfrac{\;\;\frac{(r\,b)\,(r\,h)}{2}}{\frac{b\,h}{2}\;\;}$
i, simplificant, queda
    $\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=r^2$
$\square$
Nota 1:   El resultat s'estén a la raó entre les àrees de dos poligons semblants qualssevol, atès que tot poligon es pot descompondre en un conjunt de triangles ( com un puzzle ) i, doncs, l'àrea del poligon és igual a la suma de les àrees d'aquests triangles.

Nota 2:   El resultat s'estén - encara més - a les figures semblants el contorn de les quals és una corba contínua no entrellaçada i tancada ( un cercle, per exemple); i això, perquè la corba es pot aproximar per una línia poligonal amb un nombre de vèrtexs tan elevat com vulguem [ prenent-los, a més a més, tan propers els un als altres com desitgem ]. És evident que l'àrea del recinte poligonal tendirà a ser igual al del recinte tancat per la corba, amb precisió il·limitada.

Nota 3:   Recordem - d'altres exercicis i d'altres comentaris - que la raó entre les longituds de segments corresponents de dues figures semblants és igual a la raó de semblança
    $\dfrac{l'}{l}=r$
i que, ara, acabem de demostrar que la raó aritmètica entre les àrees de dues figures semblants ( tancades ) és igual a la raó de semblança elevada al quadrat
    $\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=r^2$
Estenent aquests resultats a una dimensió més ( pensant en els volums dels cossos a l'espai tridimensional ), és natural arribar a la següent generalització: la raó arimètica entre els volums de dos cossos semblants ( políedres, cossos de revolució, etcètera ) és igual a la raó de semblança elevada al cub,
    $\dfrac{\mathcal{V'}}{\mathcal{V}}=r^3$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio relacionado con la homotecia y el área de un triángulo. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Representeu en el pla el triangle $\triangle{ABC}$ de vèrtexs: $A(1,0)$, $B(1,-1)$ i $C(-1,-1)$ i calculeu-ne l'àrea ( $\mathcal{A}$ ) i el perímetre ( $\mathcal{P}$ ). A continuació, calculeu l'àrea ( $\mathcal{A}'$ ) i el perímetre ( $\mathcal{P}'$ ) d'un triangle homotètic al donat ( $\triangle{A'B'C'}$ ), sabent que és més gran que l'original i que la raó de l'homotècia $r$ és igual a $4$.

Solució:
    Gràfic del triangle $\triangle{ABC}$

Àrea i perímetre de $\triangle{ABC}$ :
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot2=1 \; \text{unitats d'àrea del gràfic}$
    $\mathcal{P}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}$
on
    $\overline{AB}=1 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$
    $\overline{BC}=2 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$
i, donat que $\triangle{ABC}$ és un triangle rectangle, podem fer ús del teorema de Pitàgores per calcular la longitud del costat $CA$:
    $\overline{CA}=\left|\sqrt{1^2+2^2}\right| \; \text{unitats de longitud del gràfic}$

Per tant
    $\mathcal{P}=1+2+\left|\sqrt{1^2+2^2}\right|$
            $=3+\left|\sqrt{5}\right|$
            $\approx 5 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$

I, tenint en compte que el valor de la raó de l'homotècia dóna el valor de la raó de semblança, calculem l'àrea i el perímetre de $\triangle{A'B'C'}$:
    $\mathcal{A'}=\mathcal{A} \cdot r^2$
            $=1 \cdot 4^2$
            $=16 \; \text{unitats d'àrea del gràfic}$
    $\mathcal{P'}=\mathcal{P} \cdot r$
            $=(3+\left|\sqrt{5}\right|) \cdot 4$
            $\approx 21 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$

$\square$

[nota del autor]

Los lados desiguales de un rectángulo miden ... ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Els costats desiguals d'un rectangle mesuren $2\,\text{cm}$ i $5\,\text{cm}$, respectivament. Si allarguem $d\,\text{cm}$ ( $d \ge 0$ ) els costats d'aquest rectangle, obtindrem un rectangle semblant a l'original ?.

Solució:
Per tal que els dos rectangles siguin semblants s'ha de complir que
    $\dfrac{3}{5}=\dfrac{3+d}{5+d}$
i perquè aquesta igualtat sigui certa cal que
    $3\,(5+d)=5\,(3+d) \Rightarrow 3\,d=5\,d \Rightarrow 0=2\,d$
però, donat que $d\neq 0$, $2\,d$ no pot ser igual a $0$, la qual cosa contradiu la línia de dalt.
D'aquí concloem que el rectangle que s'obté no és semblant al rectangle original.
$\square$

[nota del autor]