Triángulos rectángulos. Aplicación de los teoremas de la altura y del cateto

ENUNCIADO. Al trazar la altura a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ésta queda dividida en dos segmentos de $2$ y $3$ decímetros, respectivamente. Se pide:
a) Un dibujo esquemático del triángulo, con los datos del problema y la denominación de sus elementos ( vértices y lados )
b) El área del triángulo
c) El perímetro del triángulo

SOLUCIÓN.

Ejercicio relacionado con la homotecia y el área de un triángulo. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Representeu en el pla el triangle $\triangle{ABC}$ de vèrtexs: $A(1,0)$, $B(1,-1)$ i $C(-1,-1)$ i calculeu-ne l'àrea ( $\mathcal{A}$ ) i el perímetre ( $\mathcal{P}$ ). A continuació, calculeu l'àrea ( $\mathcal{A}'$ ) i el perímetre ( $\mathcal{P}'$ ) d'un triangle homotètic al donat ( $\triangle{A'B'C'}$ ), sabent que és més gran que l'original i que la raó de l'homotècia $r$ és igual a $4$.

Solució:
    Gràfic del triangle $\triangle{ABC}$

Àrea i perímetre de $\triangle{ABC}$ :
    $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot2=1 \; \text{unitats d'àrea del gràfic}$
    $\mathcal{P}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}$
on
    $\overline{AB}=1 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$
    $\overline{BC}=2 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$
i, donat que $\triangle{ABC}$ és un triangle rectangle, podem fer ús del teorema de Pitàgores per calcular la longitud del costat $CA$:
    $\overline{CA}=\left|\sqrt{1^2+2^2}\right| \; \text{unitats de longitud del gràfic}$

Per tant
    $\mathcal{P}=1+2+\left|\sqrt{1^2+2^2}\right|$
            $=3+\left|\sqrt{5}\right|$
            $\approx 5 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$

I, tenint en compte que el valor de la raó de l'homotècia dóna el valor de la raó de semblança, calculem l'àrea i el perímetre de $\triangle{A'B'C'}$:
    $\mathcal{A'}=\mathcal{A} \cdot r^2$
            $=1 \cdot 4^2$
            $=16 \; \text{unitats d'àrea del gràfic}$
    $\mathcal{P'}=\mathcal{P} \cdot r$
            $=(3+\left|\sqrt{5}\right|) \cdot 4$
            $\approx 21 \; \text{unitats de longitud del gràfic}$

$\square$

[nota del autor]

Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática (...)

Enunciado:
Considerar el triángulo rectángulo representado en la figura esquemática:

Sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son $\overline{PB}=4 \,\text{cm}$ y $\overline{PA}=25\,\text{cm}$, ¿ cuál es su área ?.

Resolución:
Por el Teorema de Pitágora, la altura correspondiente al lado que corresponde a la hipotenusa del triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos, esto es: $h=\sqrt{4\cdot 25}=10$. Luego el área del triángulo es igual a $\dfrac{(25+4)\cdot 10}{2}=145\,\text{m}^2$
$\blacksquare$

[nota del autor]