Enunciat:
Considereu dos triangles semblants, $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$, de raó de semblança igual a $r$. Demostreu que la raó aritmètica entre les àrees és igual a la raó de semblança $r$ elevada al quadrat.
Solució:
Si els triangles $\triangle{ABC}$ i $\triangle{A'B'C'}$ són semblants, llavors la raó aritmètica entre les longituds dels costats corresponents que designem com a bases, $b$ i $b'$ és igual a $r$, i, semblantment, la raó aritmètica entre les longituds dels segments altura d'aquestes bases, $h$ i $h'$, també és igual a $r$:
$r=\dfrac{b'}{b} \quad \quad (1)$
$r=\dfrac{h'}{h} \quad \quad (2)$
Tenint en compte que les àrees respectives es calculen de la forma
$\mathcal{A}=\dfrac{b\,h}{2} \quad \quad (3)$
i
$\mathcal{A'}=\dfrac{b'\,h'}{2} \quad \quad (4)$
dividint membre a membre (4) entre (3) trobem
$\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=\dfrac{\;\;\frac{b'\,h'}{2}}{\frac{b\,h}{2}\;\;}$
Tenint en compte (1) i (2)
$\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=\dfrac{\;\;\frac{(r\,b)\,(r\,h)}{2}}{\frac{b\,h}{2}\;\;}$
i, simplificant, queda
$\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=r^2$
$\square$
Nota 1: El resultat s'estén a la raó entre les àrees de dos poligons semblants qualssevol, atès que tot poligon es pot descompondre en un conjunt de triangles ( com un puzzle ) i, doncs, l'àrea del poligon és igual a la suma de les àrees d'aquests triangles.
Nota 2: El resultat s'estén - encara més - a les figures semblants el contorn de les quals és una corba contínua no entrellaçada i tancada ( un cercle, per exemple); i això, perquè la corba es pot aproximar per una línia poligonal amb un nombre de vèrtexs tan elevat com vulguem [ prenent-los, a més a més, tan propers els un als altres com desitgem ]. És evident que l'àrea del recinte poligonal tendirà a ser igual al del recinte tancat per la corba, amb precisió il·limitada.
Nota 3: Recordem - d'altres exercicis i d'altres comentaris - que la raó entre les longituds de segments corresponents de dues figures semblants és igual a la raó de semblança
$\dfrac{l'}{l}=r$
i que, ara, acabem de demostrar que la raó aritmètica entre les àrees de dues figures semblants ( tancades ) és igual a la raó de semblança elevada al quadrat
$\dfrac{\mathcal{A'}}{\mathcal{A}}=r^2$
Estenent aquests resultats a una dimensió més ( pensant en els volums dels cossos a l'espai tridimensional ), és natural arribar a la següent generalització: la raó arimètica entre els volums de dos cossos semblants ( políedres, cossos de revolució, etcètera ) és igual a la raó de semblança elevada al cub,
$\dfrac{\mathcal{V'}}{\mathcal{V}}=r^3$
$\square$
