Triángulos en posición de Tales

Hallar la altura del árbol a partir de la sombra del mismo y de la sombra de otro árbol ...

ENUNCIADO. Dos árboles están plantados ( perpendicularmente al suelo ) en un claro del bosque cuyo suelo es horizontal. El pequeño mide $4$ metros y del más alto desconocemos su altura. En un cierto momento del día ( que es soleado ) medimos las longitudes de las sombras: la que da el pequeño es de $5$ metros, y la que da el más alto es de $15$ metros. Calcular la altura del árbol más alto.

SOLUCIÓN. Dibujando los árboles y sus respectivas sombras, se forman dos triángulos semejantes, ya que los rayos de sol pueden considerarse paralelos. Entonces, llamando $h$ a la altura pedida, por el teorema de Tales podemos escribir $$\dfrac{h}{4}=\dfrac{15}{5}$$ y despejando $$h=\dfrac{4 \cdot 15}{5}=12\;\text{m}$$
$\square$

Medidas indirectas

ENUNCIADO. En un llano del parque y en un día soleado, medimos la longitud de la sombra que da una farola y, a la vez, un ayudante mide la longitud de la sombra que da una persona cuya estatura es de $170$ centímetros. La longitud de la sombra de la farola ha resultado ser de $10$ metros; y, la longitud de la sombra de la persona ( que está de pie ), de $190$ centímetros. Con estos datos, calcular la altura de la farola.

SOLUCIÓN.
La sombras del árbol ( junto con el segmento que representa su altura, y el segmento oblicuo sobre la recta que pasa por el extremo de la sombra y el extremo superior del árbol ) y del bastón ( junto con el segmento que representa su altura, y el segmento oblicuo sobre la recta que pasa por el extremo de la sombra y el extremo superior del palo ), a la misma hora del día, conforman un dos triángulos semejantes; entonces, llamando $x$ a la altura del árbol, por el teorema de Tales podemos escribir $$\dfrac{x}{1000}=\dfrac{170}{190}$$ donde los datos vienen expresados en centímetros. Despejando $x$ obtenemos $$x=\dfrac{17 \cdot 1000}{19} \approx 895 \; \text{cm}$$. $\square$

Se sabe que: $\overline{OA'}=3\,\text{cm}$, $\overline{A'B'}=2'2\,\text{cm}$ y $\overline{OA}+\overline{AB}=6'5\,\text{cm}$. Calcular $\overline{OA}$ y $\overline{AB}$

Enunciado:
Se sabe que: $\overline{OA'}=3\,\text{cm}$, $\overline{A'B'}=2'2\,\text{cm}$ y $\overline{OA}+\overline{AB}=6'5\,\text{cm}$. Calcular $\overline{OA}$ y $\overline{AB}$

Resolución:
Por comodidad, denotamos por $x$ el segmento $\overline{OA}$, y por $y$ el segmento $\overline{AB}$. Entonces, teniendo en cuenta el Teorema de Tales ( los triángulos $\triangle{\{O,A,A'\}}$ y $\triangle{\{O,B,B'\}}$ ) podemos escribir la siguiente proporción entre los segmentos correspondientes:
$$\dfrac{x}{3}=\dfrac{x+y}{3+2,2}$$
y teniendo en cuenta que $x+y=6,5$
$$\dfrac{x}{3}=\dfrac{6,5}{5,2}$$
y, resolviendo la ecuación,
$$x=3,75 \, \text{cm}$$
luego
$$y=6,5-3,75=2,75 \, \text{cm}$$
$\blacksquare$

[nota del autor]